Soient a : b^^r^ c : d=r, e : f^^r, k : /=r; on

aura la suite de rapports égaux

que Ton énoncera : di est àh comme c est à d comme e est à f,

etc comme k est à 1.

Quelquefois, on écrit d'abord tous les antécédents, puis tous les conséquents, en séparant deux antécédents ou deux conséquents consécutifs par deux points, et le dernier antécédent du premier conséquent par quatre. Ainsi , la suite précédente peut se mettre sous la forme

a: c : e : : k :: b : d : f : . . . . : ly

et Ton dit alors : a e^^ a c e*^ à e est àk comme h est ad

est à î est à I.

452. Dans une suite de rapports égaux, la somme de tous les antécédents est à la somme de tous les conséquents comme un antécédent quelconque est à son conséquent. Si l'on représente par r la valeur commune à tous les rapports de la suite

on a

ace k f..

et, en faisant disparaître les dénominateurs,

a = hr, c= dr, e=/r, k = lr\

ajoutant ces équations et mettant r en facteur dans le second membre, il vient

si Ton divise maintenant les deux membres par l'expression i+d-f- /*....+ / et si l'on remplace r par l'un des rapports de

la suite, par exemple, par t, on trouve

d'algèbre. 223

453. Dans une suite de rapports égaux, la somme d'un certain nombre d'antécédents est à la somme des conséquents correspondants comme la somme d'un autre nombre d'antécédents est à la somme des conséquents correspondants. Car la suite de rapports égaux

a : b :: c : d :: e: f:: g : h :: i :j peut se partager en deux autres

a : b :: c : d :: e : ff g : h :: i : j,

àVu Ton déduit (452)

a'\- c-{-e : b-}-d-\-f:: a : b, g + i:h'{'j:: g :h ou ::a:b; et, parce que ces proportions ont le rapport commun a : 6, a+c + e: b-^d+f :: g-^-i : h+j.

454. Problème. Partager le nombre a en parties proportionnelles aux nombres, m, n, p, etc. Si Ton désigne par x, y, z, etc. les parties cherchées, on a évidemment

d'où Ton conclut en vertu du n"* 452 et en observant que

x-^-jr-^-z = a,

ma • ' '^ ' m-j-n-j-p . . .

a:fn-\-n + p-\-...::j^:n, dou j- = -^-^—-.

a:rn + n+p^...::z:p, ^ = __M__

455. Dans une suite de rapports égaur, la moyenne arithmétique de tous les antécédents est à celle de tous les conséquents comme un antécédent est à son conséquent. Car, si Ton représente par m le nombre des rapports de la suite (i), et si Ton

divise par ce nombre les deux premiers termes de la proportion (k), qui en est une conséquence, il vient

456. Dans une suite de rapports égaux, la moj^enne proportionnelle de tous les antécédents est à celle de tous les conséquents comme un antécédent est à son conséquent. En effet, si Ton multiplie, membre à membre, les m équations (j), on obtient aXcXe.... X k

bXdXf....Xl d'où, en extrayant la racine m*^°^

[^aXcXe....Xk ^.

\^bXdXf....Xl et, en remplaçant r par a : i.

V~aXcXe Xk : VbxdXf Xl::a : h. (m)

457. Dans une suite de rapports égaux, la moyenne arithmétique de tous les antécédents est à celle de tous les conséquents comme la moyenne proportionnelle de tous les antécédents est à celle de tous les conséquents. Les proportions (1) et (m) ayant un rapport commun a : b fournissent effectivement

-— ^— — ^— : —^ — — ''[^aXc...Xk'Vbxd...xL Wf m