II. Formules fondamentales

467. i'® Formule. Un terme quelconque d'une progression par différence est égal, au premier ^ plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui. Soient r la raison et / le n^^ terme de la progression

on aura (463) les n — i équations

e^t, en les ajoutant,

* + ^+<3f4:.::T+*+7 = «-|-Hc + ----+^+(w — 0^ d'où, en supprimant les termes b, c,dj. . . .k communs aux deux membres,

/=a-|-(n — i)r; ce jqui démontre le principe énoncé.

Si l'on fait dans cette formule n = i,n=2, n = 3,n = 4--'

D*ALGÊBRE. 227

/ représente successivement les divers termes de la progression et l'on trouve

c'est pourquoi Ton donne à cette expression le nom de ttrme général du rang n.

i •' Exemple. Le 1 6* terme de la progression -^- 2 . 5 . . . . , dont le premier terme est 2, et dont la raison est 5 — 2 = 3, est égal

2* Exemple, Le 54 ® terme de la progression -^- 16 . 1 2 . . . , dont le premier terme est 16 et dont la raison est 12 — 16= — 4> ®st égal à i6+(5i;— i)X— 4=— 184.

468. 2® Formule. La somme des termes d'une progression par différence est égale à la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre des termes. Représentons par r etn la raison et le nombre des termes de la progression

-7- a . ft . (î . d i.j ,k.lj (a)

et posons

nous pourrons, en disposant ses termes dans un ordre inverse, former cette autre progression

■T- Lk.j.i. . . .d.c.b.a^ (c)

dont la raison est — r, ce qui fait voir qu'elle est croissante si la première est décroissante et réciproquement; mais la somme des termes n'étant point altérée par cet arrangement, nous aurons encore

puis, en ajoutant les équations (b) et (d),

2*= (a+/)+ (6+A)+ (c+;) + (rf+t). . . . .

Or, par la nature des progressions (a) et (c), il vient

a-|-r=6, b-{-r=c, C'\-r=^d,, . . . k'-\-r=l; l — r = k, k — r=jf j — r=i, .... b — r=a; et, en prenant la somme des équations correspondantes et observant en même tempç que les termes r et — r se détruisent, a-{-l=b'\-kj 64-^==c-f-y, C'\-j=d-\'i, A;+é=/+a,

d^où

Le second membre de Téquation (e) se compose donc de n binômes égaux à a-|- /, et conséquemment elle se réduit à

25 =(a'\-l)ny d'oîi s = f — ^^^—\ n.

i ®' Exemple. La somme des termes de la progression -^ 5.8. II .14.17.20.23.26.29.32, dont les termes extrêmes sont 5 et 32, et dont le nombre des

termes est 10, est égale à ( — — — j . io=i85.

2® Exemple. Si Ton proposait de sommer les 21 premiers termes de la progression -r i5 . 1 1 . . . . , qui a pour premier terme i5 et pour raison 11 — 15= — 4î ^^ observerait d'abord que le 21® terme est égal à i5-f-2oX — 4 = — 65, puis, on en conclurait que la somme cherchée est ( j .21^= — 555.