La somme des n premiers nombres naturels est égale à

^ *" ' ; car les n premiers nombres i, 2, 3, 4, ^ forment

une progression par différence dont les termes extrêmes sont i et n, d'où il suit que

1+2+34-.. .. + n= \^—±—jn= ^J ' .

Ainsi la somme des 1000 premiers nombres est égale à

1000. lOOI - -

= 5oo5oo.

470. La somme des n premiers nombres impairs est égale à n*. Car les n premiers nombres impairs i, 3, 5, 7.... constituent une progression par différence, qui a pour premier terme i , pour raison 2 et pour dernier terme i+{n — i).2 = 2W — i; donc

1+3+5+7 +(2n— 1)-= (— *- ^jn=n.w=w,*.

Ainsi, la somme des 100 premiers nombres impairs est égale à 100'= 1 0000.

d'algèbre. 229

471. Insérer m moyens arithmétiques entre deux quantités, c^est y intercaler m termes^ de manière que le système de ces m-j-2 termes constitue une progression par différence.

472. Problème. Insérer m moyens arithmétiques entre les deux quantités a et 1. Cette question consiste évidemment à trouver la raison r d'une progression par différence composée de m-f-^ termes, et ayant pour termes extrêmes les quantités a et /. Or, le terme /, étant du rang m-j-a, est précédé de m-f-i termes; et, en vertu de la première formule de ce paragraphe, on a l'équation

/ = a+(w+i)r, d'où r= — ; — ;

ainsi, la raison cherchée est égale à la différence des deux quantités données, divisée par le nombre des moyens à insérer, plus un. Actuellemept, pour obtenir les m moyens, il ne s'agit plus que de substituer cette valeur de r dans les m expressions

a + r, a-\-^r, a-f-3r a-^-mr.

Si l'on suppose m= i, il vient r= et le moyen demandé est égal à

Exemple. Soit à insérer 7 moyens arithmétiques entre les nombres 3 et 19; on aura r = -^ — ==--. = 2^ et les 7 moyens cherchés seront 5, 7, 9, 11, i3, i5, 17.

473. La moyenne arithmétique entre tous les termes d'une progression par différence est égale à la moyenne arithmétique entre les deux termes extrêmes. Ce qui résulte immédiatement de l'équation

' *» d ou Ion tire — — — '—

m. Problèmes sur les progressions par différence.

474. Les formules fondamentales de la théorie des progressions

renfermant cinq quantités a, /, n, r et s, peuvent servir à déterminer deux 4'6ntre elles, quapd on connaît les trois autres. De là résultent dix questions, dont les inconnues sont :

6° /, r; T /, s; 8° n, r; 9° n, 5; iO« r, 5.

Avant de nous en occuper, nous ferons remarquer que les quantités, a, /, r et 5 peuvent être quelconques, positives ou négatives, entières ou fractionnaires ; mais que la quantité n doit être essentiellement un nombre entier positif.

475. Problème I. Déterminer a eH, connaissant n, r et s. Les formules du n® précédent peuvent aisément se mettre sous la forme

/ — a= In — i)r, /-|-a= — ;

et, en faisant usage de la règle du n** 5, on trouve sur-le-cbamp

an ' 2 2n '

476. Problême IL Déterminer a et n, connaissant 1, r e^ s. On tire de la formule (f)

et, en substituant dans la formule (g), on a

25 = (2/-l- r — rn)ny

équation du second degré par rapport à n, qui devient, par la

préparation ordinaire,

d'où Ton déduit

2/ + r±V^{^l+ry~8rs , 2r

D*ÀLGÈBRE. 231

si Ton porte maintenant cette valeur de n dans (h) , on trouve

rqpk^(2/+r)'— 8r^

Lorsque l'expression {^l-^-rY—Srs est négative, les valeurs des inconnues sont imaginaires et le problème est impossible ; si elle est positive, il y a, algébriquement parlant, deux solutions ; toutefois il ne faut point perdre de vue que Ton doit rejeter celles qui ne correspondent point à des valeurs entières et positives de w.

Si Ton pose r = 2, /=2i et 5= 120, les résultats précédents donnent : <** n=i2, a= — i ; 2*" n=io, a = 3. Ces deux solutions sont admissibles.