VI. Avantage d'ordonner dans la multiplication

52. Lorsque le multiplicande et le multiplicateur sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une lettre commune, et qu'il n^existe pas d'interruption dans les exposants du multiplicande, on peut reculer vers la droite les différents produits partiels de manière que tous les termes du produit affectés d'une même puissance de la lettre principale se trouvent les uns sous les autres. Par ce moyen : 1** on sera dispensé de rechercher les termes semblables qui se trouveront essentiellement dans la même colonne verticale; 2^ on aura T avantage d'obtenir h produit tout ordonné,

3® Exemple de multiplication.

-3a'6— ia6'-f 56'

io*+^6 a^—^b' a'-^b' a'+^64 a

d'algèbre.

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S*il existait des lacunes dans les exposants du multiplicande, on pourrait encore employer les mêmes dispositions pourvu qu'on laissât en blanc les places que devraient occuper les termes manquants.

Enfin, on peut remarquer que tout ce qui précède s'applique également au cas ou les deux polynômes seraient ordonnés par rapport aux puissances ascendantes d'une lettre commune.

5^. Les termes extrêmes du produit de deux polynômes drdonnéSy sont égaux Vun au produit des premiers termes du multiplicande et du multiplicateur^ et Vautre au produit des derniers termes de ces mêmes quantités. En portant les yeux sur les deux multiplications précédentes, on voit en effet que la première et la dernière colonne, ne contenant chacune qu'un seul terme, ne donnent lieu à aucune réduction. Ainsi (3® exemple)

et (4* exemple)

Ce principe, sur lequel nous fonderons la règle de la division des polynômes, n'a visiblement lieu que dans le cas où les coefficients des mêmes puissances de la lettre principale sont réunis dans des parenthèses ; au reste, il n'est qu'un cas particulier de ce principe beaucoup plus général. Les termes extrêmes du produit de plusieurs polynômes ordonnés selon les puissances ascendantes ou descendantes d'une lettre commune, sont égaux aux produits des premiers et des derniers termes de tous les facteurs.

54. Le produit de deux polynômes composés, l'un de m termeSi et Vautre de n, a au moins deux termes, et au plus mn. <** Ce produit a au moins deux termes, puisque parmi les termes d'un produit, il y en a toujours au moins deux qui ne subissent aucune réduction (n** 53). Ex. (a'-f «^+0 {a — b) = a'^—b\ 2** Ce produit ne peut avoir plus de mn termes. En effet, dans la supposition qu'aucun de ses termes ne soit susceptible d'être réduit, chaque terme du multiplicateur ne peut en donner que m au produit; les n du multiplicateur ne pourront donc produire

plus de mn termes. Cette circonstauce se présente dans le premier exemple de multiplication du n** 44.