II. Formules fondamentales

500. P^ Formule. Un terme quelconque d'une progression par quotient est égal au premier, multiplié par la raison

élevée à la puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent. Soient r la raison et / le w*°** terme de la progression

on aura les n — i équations (496)

b = ar, c = br, d^cr^ e = dr,.... k^jr^ /=Ar; et en les multipliant,

bcde kl = abcd.. . .j kr^"^,

d'où, en divisant pes bcde k,

l^ar""-', ce qui démontre le principe énoncé.

Si Ton fait dans cette formule n= i, n=2, w=3, n=4» • • • • / représente successivement les divers termes de la progression et Ton trouve

o = a, b^^ar^ c=ar*, d = ar^t. . . .

c'est pourquoi l'on donne à cette expression le nom de terme gé^ néral du rang n.

1®^ Exemple. Le 7® terme de la progression -H- 3 : 6 : ...., dont le premier terme est 3, et dont la raison est 6 : 3 = 2, est égal à 3x2^=192.

2® Exemple. Le 6® terme de la progression -H- 2 : — 3 :.... qui

a pour premier terme 2 et pour raison —3:2= , est égal

501 . 2* Formule. La somme des termes d'une progression géométrique est égale au quotient que l'on obtient , en divisanty par la raison moins l'unité, le produit du dernier terme par la raison diminué du premier terme. Considérons la progression

et posons

d'où résulte, en multipliant par la raison r,

sr=^ar-\- br'\'cr-\-dr-{' '■\'ir'\-jr'{-kr'\-lr;

retranchant la première équation de la seconde, mettant s en

d'algèbre. 237

facteur dans le premier membre et observant, relativement au dernier, que a r = é, br^:^c, cr=d, kr=l, il vient

$lr — i)==/r — a, d'où 5 = .

i *' Exemple, La somme des termes de la progression -H- 3 : 6 : 12 : 24 : 48 ^ 96 : 192 : 384, dans laquelle

a = 3, Z=384, r = 2, est égale à — = 766.

2* Exemple. Soit à sommer les 9 premiers termes de la progression -H- I : — 3 : ; on observera d'abord qu'ici a = 1 ,

r = — 3, et que 109® terme =iX( — 3)^=656i ; puis, on en

conclura que la somme cherchée est ^ = 492 1 .

502. Insérer m moyens proportionnels entre deux quantités, c'est y intercaler m termes, tels que l'ensemble des m -f 2 termes constitue une progression par quotient.

503. Problème. Insérer m moyens proportionnels entre les deux quantités a et 1. Celte question se réduit évidemment à trouver la raison r d'une progression par quotient, dont les extrêmes sont a et / et dont le nombre des termes est m + 2 ; or, le terme /, ëtant du rang m4-2, se trouve précédé de w-f-i termes; et par conséquent on a (500)

l=ar^\ d'où Ton tire, en divisant par a et en extrayant la racine du degré m-^-i des deux membres,

nH-l

ainsi, la raison cherchée s'obtient en extrayant du rapport des deux quantités let dL la racine marquée par le nombre des moyens à insérer, plus un. La raison r étant déterminée, les m moyens sont visiblement

ar, ar^y ar^y ar^".

Si l'on suppose m= i, il vient

238 PRBVCIPES

et le moyen demandé est

Exemple, Soit à insérer 7 moyens entre les nombres 5 et 1280; on aura a =5, / = i28o, m = 7, et par suite

donc les 7 moyens cherchés sont 10, 20, 4o> 80, 160, Sac et