III. Progressions par quotient décroissantes à Vinfini

605. La somme des term^es d'une progression décroissante, prolongée à l'infini, est égale au quotient du premier terme divisé par l'unité diminuée de la raison. Soient

-^a : ar : ar^ : ar^ : (a)

une telle progression et l la somme de tous ses termes, dont le dernier ar* peut être considéré comme moindre que toute quantité assignable , attendu que Ton suppose r < i et que les

puissances successives d'une fraction diminuent de pins en plus et tendent vers zéro (90). L'équation

L=^a-\'ar'{-ar*-\'ar^-\-... .

multipliée par r devient

Lr=af + ar* + ar^-|-^^+ '»

retranchant celle-ci de la première, on obtient

l( I — r) = a, d'où l == ,

Si l'on divise a par i-^r, on retrouve effectivement la suite indéfinie a -f ar-f-ar'*4*^^'+

Soit, pour exemple, à sommer la progression décroissante à l'infini

il faudra faire, dans la formule précédente, a= i et r= — , ce qui donnera

C'est ce que l'on peut d'ailleurs facilement vérifier en observant que

d'où il résulte, par des substitutions successives,

506. Voici une autre manière de parvenir à la même formulé qu'il est important de connaître. Soit Sn la somme des n premiers

termes a, ar, ar* ar°^^ de la progression décroissante (a),

on aura (501)

af^^Kr — a a — ar''

ou bien, en décomposant le dernier membre,

actuellement, si Ton pose n= oo, auquel cas r* = o et s^ =l;

il vient, comme on Ta déjà trouvé,

En retranchant la valeur de s^ de celle de l, on a

ce qui fait voir que la valeur numérique de la différence h — Sa décroît à mesure que n augmente, et que Ton ne peut avoir L — 5n= o ou L = 5n quc lorsque n = oo . L'expression l vers laquelle convergent les sommes s,, s^, s^, s^ est donc la limite

de la quantité variable Sn .

Lorsque r est positif, le premier membre l — 5„ a toujours le même signe que a, quel que soit n; conséquemment les sommes

5,, s^y s^y sont toutes plus petites ou plus grandes que l,

suivant que a est positif ou négatif.

Quand au contraire r est négatif, les puissances successives de r et par suite les valeurs de l — ^n sont alternativement positives et négatives ; de sorte que la limite l est constamment comprise entre deux valeurs consécutives de $n .