CONSTRUCTION ET USAGE DES TABLES DE LOGARITHMES
I. Un nombre étant donné, trouver son logarithme et réciproquement.
554. I®*" Problème. Trouver le logarithme d'un nombre dans un système donné. Soient a la base, b le nombre donné et x son logarithme ; on aura à résoudre Téquation exponentielle
supposons d'abord que Ton ait a> i et ft> i ou a<: i et'A<:i, auxquels cas, ainsi qu'on l'a vu dans les n**" 533 et 534, la valeur
de a? est positive. On fera a? = o,x=i,a?r=2,a?=3, jusqu'à
ce que l'on parvienne à deux puissances consécutives n et n+i de a, qui comprennent le nombre b.
Si a est > 1, on aura les inégalités b> a" et 6 <: a""*"*, ou, en remplaçant b par a*, a'> a" et «*<«"+* ; de là résultent cellesci x>n et x<:n'\- i.
Si a est < I , on aura au contraire 6<a" et 6 > a""*"*, ou, a'^a"" et a*> a"+*; de là résultent encore (90) x>n et x<:n + 1.
Ainsi, dans tous les cas, on pourra conclure, à une unité près, a?==n ; cette première valeur de x est évidemment trop faible.
Pour en obtenir une plus approchée, on pose x^^n-^-^r] il
d'algèbre. 255
est essentiel de remarquer que la valeur inconnue de x doit être plus grande que Tunité, car, si Ton avait a?'< i, il s'ensuivrait
— r > I eta?> w+i, ce qui est impossible; substituant dans
réquation (a), il vient successivement
désignons, pour simplifier, -7- par a'; puis, élevons les deux
membres à la puissance a?' et transposons; nous trouverons
équation de même nature que celle dont nous sommes partis ; en y faisant, comme ci-dessus, x'=î, ar'=2, ii?'==3, on déterminera les puissances consécutives n' et n'+ 1 de a entre lesquelles le second membre a est compris; on aura en conséquence, à une unité près, x'=n', et par suite une deuxième valeur de x, qui sera trop forte, attendu que celle de x' est trop petite.
Pour approcher davantage, posons a?'=n'H — u et substituons
dans (b); l'équation résultante pourra être déduite de (b) comme
cette dernière l'a été de (a) ; ainsi, en représentant -r^ par a", il
vient
équation exponentielle que l'on peut traiter comme les précédentes; soit n" la valeur entière de x"; on aura
et, par deux substitutions, une troisième valeur de x; celle-ci sera trop faible; car, de ce que la valeur de x" est trop petite, il s'ensuit que celle de x' est trop grande, et enfin que celle de x est trop faible.
Si Ton pose de nouveau dans l'équation (c)
on aura
et, en appelant n'" la valeur entière approchée de x'",
d'où Ton conclura, au moyen de trois substitutions successives, une quatrième valeur de x\ mais cette valeur sera trop forte, comme il est facile de s'en assurer en remontant de la valeur de ar'", qui est trop faible, à celle de x.
Si, en continuant de la sorte, on trouve pour Tune des quantités Xy x\ x", une valeur entière exacte, il est visible que
le logarithme de b sera commensurable ; s'il en est autrement, ce logarithme sera incommensurable.
Au surplus, il sera toujours possible d'estimer le degré d'approximation, car, de ce que les valeurs approchées successives de X sont alternativement plus petites et plus grandes que sa véritable valeur , il suit que l'erreur commise, en prenant l'une d'elles pour a?, est moindre que sa différence à la valeur approchée précédente.
Présentement, si l'on avait a> i et b<t, ou a<:i, et b>i, suppositions en vertu desquelles la valeur de x est négative (voyez les n**^ 533 et 534) ; on ferait x = — y, ce qui changerait l'équation a^==b en
a-y =6, d'où -V = * et al' = -^ ; w'
les nombres «^ et -7- étant en même temps plus grands ou plus
petits que l'unité, cette équation exponentielle pourra être résolue par la méthode que l'on vient d'exposer.
Soit, pour exemple, à calculer le logarithme de 12, à 0,01 près, dans le système dont la base est 6; si Ton pose log i2=a?, on aura à résoudre l'équation
on voit sur-le-champ que 6 est <: 12 et 6* ;> 12 ; donc a?= i, à une unité près.
D^ALGEBRE. 25*)
Faisons dans cette équation a?= i -| — r î il vient, en employant
la loi de déduction mentionnée plus haut,
(i2 : 6)**= 6 ou 2** = 6; or, 2* est < 6 et 2^ > 6; de là résulte, en nous bornant aux
unités, a?'= 2 ; conséquemment a?=i-| — , à i-j 1 ou-
près.
Poson§ encore a?'= 2 -j — r? et substituons; nous trouverons
(6:2«)'"=2 ou J^J' =2;
puis , en observant que - est < 2 , mais que f - 1 est > 2 ,
x"= 1 ; d'oîi a?'=2-J — = 3 et a: = i + 77 . L'erreur commise - ' I o
est moindre que i4 i — t; ou 7; .
En posant a?"= i-) — jr, dans Téquation précédente, on trouve i, ^est < - et ( Il > -; donc a?'"== 1, à une unité près.
et par suite
ii+-=2, a?=2+- = -, x=i + i : ^ = i+-
L^erreur est plus petite que i + ^ — ^ "^ ^ ^'^ "T •
Si Ton fait a?"' =1 H -^ on a cette nouvelle équation
d'où Ton tire, en négligeant les fractions, a:'' = 2, attendu que ( I ] ^ ^ ®^ ^"^ ( 8 ) 6st > I ; on a par conséquent
258 PBINCIPES
L'erreur ne peut s'élever ài + ^ — i r ou 7777.
Soit a?"=2 H — ;•; on trouve, en substituant et en remarquant
que
(5 = 64) =8 •»" te)
il est facile de reconnaître que le second membre est compris entre le carré et le cube de l'expression renfermée dans la parenthèse; donc a;'= 2, et de là
L'erreur est alors moindre que i + ' ou -7-0-; ainsi,
1 2 en réduisant la fraction ^ en décimales, on a
log, 12 = I, 38. . . .
555. 2® Problème. Un logarithme étant donné dans un système connu, déterminer le nombre qui lui correspond. Si l'on met ce logarithme sous la forme d'expression fractionnaire irréductible, il pourra être représenté par — - ou par (m et n
étant deux nombres entiers), suivant qu'il sera positif ou négatif. Cela posé, soient a la base donnée et j- le nombre cherché , on aura, dans le premier cas,
et dans le second
-ïï I
d'algèbre. 259
S'il s'agit, par exemple, de déterminer le nombre y qui correspond au logarithme i,i2i5 du système dont la base est 2 ; on
et il s'ensuit
556. Lorsque les nombres entiers a e^ b sont composes des mêmes facteurs premiers et que leurs exposants forment une suite de rapports égaux, le logarithme de b, relatif à la base a, est commensurable ; si ces conditions ne sont point remplies, ce logarithme est incommensurable. Pour le démontrer, cherchons les relations qui doivent subsister entre a et 6, pour que le log. é, pris dans la base a, soit commensurable, c'est-à-dire de la forme
— . Nous aurons d'abord n
6==:a», d'où A" = a";. (d)
or, tout facteur premier de 6, divisant 6", divise aussi a" et par suite a (94); on prouverait de la même manière que tout facteur premier de a se trouve dans b ; on voit donc déjà que les deux nombres a et 6 doivent être composés des mêmes facteurs premiers.
Soient p, q, r, ces facteurs premiers, p', q\ r' et
p", q'\ r", leurs exposants dans a et é, en sorte que
a = / ?<!>'', ft=pP"ç'i'V' ; (e)
substituant dans (d), il vient
pp"û ^q"n T»'"»» = ©p'™ q^^ r'*"
Cette égalité ne peut avoir lieu à moins que les exposants de
p, q, r ne soient égaux dans les deux membres : en effet, si
les exposants de p, par exemple, étaient inégaux, on pourrait diviser par la plus haute puissance de ce facteur, et l'on obtiendrait une équation dont l'un des membres serait entier et dont l'autre serait fractionnaire, ce qui est absurde. Conséquemment, on a
d'où Ton tire
"7"" n ' et par suite
•,'' rw" *."
557. Lorsque la base est le produit de plusieurs facteurs premiers élevés à la première puissance ; \^il n'y a, parmi les nombres entiers^ que les puissances de cette base qui aient des logarithmes commensurables ; 2** les logarithmes de ces puissances sont des nombres entiers. En effet, on a par hypothèse
p' :=zq' =zr' = I, a = pqr ,
et de là, à cause de la suite (f) et de Téquation (e),
f==^q'' = r" , 6=pP"çP>P" = [pqr y\
ou bien
h=a^\ d*où log b=p".
Ainsi, dans le système dont la base est 10 = 2 X 5, les logarithmes des nombres entiers autres que i, 10, 100, 1000,
sont incommensurables.
