II. Construction des tables de logarithmes

558. Problème. Construire une table de logarithmes dans un système donné. On déterminera d'abord, par la méthode du n° 554, les logarithmes des nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11,

i3, relativement à la base de ce système; il ne s'agira plus

ensuite que de trouver ceux des nombres non premiers 4 > 6 , 8 ,

9,10,12 , car les tables ne renferment que les logarithmes

des nombres entiers ; or, c'est ce que l'on fera aisément en les décomposant en facteurs premiers et en y appliquant les règles des n^ 537 et 540.

Qu'il s'agisse, par exemple, de déterminer le logarithme de 12; on observe que 12=2* X 3, d'où résulte, en prenant les logarithmes,

log i2 = /o^ (2*X3) =log 2^-\-log i=2 log 2-|-/o5r 3 ;

d'algèbre. 261

équation au moyen de laquelle on pourra calculer le logarithme de 12, quand on connaîtra ceux de 2 et de 3.

Soit encore à trouver le logarithme de 5o4; on a 5o4 = 2'x3'X7, et, en prenant les logarithmes,

log 5o4 = /o5r {Q^^xyX7)=log ^^+10 g V-i-log 7 = 3 log 2 -[- 2 log i-\-log y.

Ainsi, le logarithme de 5o4 peut se déduire immédiatement des logarithmes des nombres 2, 3 et 7.

559. Les tables dont nous ferons constamment usage, contiennent les logarithmes décimaux des nombres entiers depuis i jusqu'à loooo; ces logarithmes ont sept décimales ; chaque page de ces tables est divisée en trois cases séparées, deux à deux, par un double trait ; chaque case est sous-divisée en trois colonnes : la première colonne renferme les nombres; la deuxième renferme leurs logarithmes ; enfin, la troisième fait connaître les différences entre les logarithmes consécutifs; ces différences expriment des dix-millionièmes et ne sont indiquées qu'à partir de la case où se trouve le nombre 1000, parce que les précédentes, comme on le verra bientôt, ne pourraient être d'aucune utilité.

560. Problème. Connaissant le logarithme d'un nombre dans un certain sjrstème, trouver le logarithme du même nombre dans un autre sjstème. Soient a et b les bases de ces deux systèmes et j- un nombre quelconque; convenons de représenter par la lettre l les logarithmes du second système, afin de ne point les confondre avec ceux du premier; nous aurons les équations identiques

log y L.y L.y log y

jr = a , jr = b , d'où il suit b =a ; prenant les logarithmes des deux membres dans la base a et observant que log a= i, il vient

h.jrXlog b^logj-Xlog a^logj, et de là

loqr , I

Conséquemment, lorsqu'on a une table de logarithmes relativement à une certaine base, on peut en déduire une table de logarithmes relativement à une base quelconque , en divisant

les logarithmes de la première table par le logarithme de la nouvelle base par rapport à l'ancienne.

L'expression -, — r- par laquelle il faudrait multiplier les logarithmes du premier système pour obtenir ceux du second , se nomme le Module du second système par rapport au premier.

Ainsi, s'il s'agissait, avec le secours d'une table décimale, de

^ calculer la table qui correspond à la base 6, il suffirait de diviser

les logarithmes décimaux par le logarithme décimal de 6, ou, ce

qui serait plus simple, de les multiplier par le module j-^ . Si

l'on considère en particulier le nombre 12, on aura donc,

/.12 1,0791813... oo^otr

t.o o,77oi5iD... '

cette valeur deL.12 s'accorde, à un centième près, avec celle

trouvée à la page 258.