III. Principes relatifs à l'usage des tables

561 . La différence entre les logarithmes de deva nombres est d'autant plus petite que ces nombres sont plus grands et qu'ils diffèrent moins. En effet, s^^ l'on considère les deux nombres j^+d çXx, on aura (538)

log (jr-]-î];)—log jr = log ^^^^^ ==log (^ '"^7")'

ce qui fait voir que la différence entre les logarithmes de j' + d et de j tendra d'autant plus vers log i ou zéro que la fraction

— sera plus faible , c'est-à-dire que y sera plus grand et que d

sera plus petit.

562. De là résulte, en supposant d= i, que les différences entre les logarithmes des nombres naturels décroissent et con-vergent vers zéro,

563. Lemme. Si deux progressions^ l'une par différence et l'autre par quotient, ont leurs termes extrêmes communs et sont composées d'un pareil nombre de termes \ la différence

d'algèbre. 263

entre deux termes de même rang dans les deux progressions est moindre que le carré de la différence entre les termes extrêmes divisé par le double du plus petit. Soient y et y les termes extrêmes et m+ i le nombre des termes communs aux deux progressions; si Ton représente leurs raisons par r et r, on aura, pour les déterminer, les deux équations

d*où Ton tire aisément

et, en substituant dans les deux suites,

j/,y+R, y + 2R, y + iHR ou y, (g)

y,yr, yr\ yr^ ou y, (h)

on obtiendra les valeurs des termes dont elles sont composées. Cela posé, observons que la somme des m difFérences,

yr—y, yr^—yr, yr^—yr\ yr^^-^^yr^^^

entre les m + i termes de la deuxième progression, considérés deux à deux, est égale à yr" — y ou y — y, et que par conséquent

la moyenne arithmétique entre toutes ces différences est ^

ou R. Or, en les mettant sous la forme

r (r — i), jr (r— i) r,j-(r— i)r', ^-Ir— i)r«»-*,

on voit immédiatement qu'elles constituent une progression par quotient dont la raison est encore r ; de là il suit que leur moyenne r est comprise entre la plus grande et la plus petite, et que l'on a

j- [r — i)r"""*>R, d'où y (r — i)>R, attendu que y est >yr'^-'^.

Actuellement, si l'on imagine deux progressions par différence ayant pour premier terme jr et pour raisons y (r — i) et j^ (r — i), il est visible que deux termes correspondants dans ces deux suites comprendront les termes du même rang dans (g) et (h) ; donc, en appelant z la différence entre les termes du rang n -{- 1 dans les dernières, on aura

^<[r + WY(r— i)] — [j^ + nr (r— i)].

26i PRINCIPES

OU bien, en réduisant

z ^.niY—jr) (r — i). (j)

Disposons les termes de (g) et de (h) dans un ordre inverse, de manière que les termes précédemment du rang n + i soient du rang m — n+i ; puis, imaginons deux nouvelles progressions par différence, ayant pour premier terme y et pour raisons — j'(r — i) et — Y(r — i); deux termes correspondants dans celles-ci comprendront encore les termes du même rang dans celles-là, et par conséquent, il viendra

z< [y — (m — n)jr(r — i) ] — [y — (m — n) Y{r — i) ] ou, en effectuant les calculs,

Ajoutant les inégalités (j) et (k) membre à membre, on a

Y — /y or, de l'inégalité (i) on déduit, en remplaçant r par

puis, en substituant dans la précédente et divisant par 2,

c'est précisément ce qu'il s'agissait de démontrer.

564. Les différences entre les nombres approchent d'autant plus d^être proportionnelles aux différences entre leurs logarithmes, que ces nombres sont plus grands et qu'ils diffèrent moins.

Soient trois nombres croissants j',y et j*" et posons jr"—jr = B, logy' — logjr^d,

y— j-=-^D, logy — logj-=^d; (1)

— et — désignent évidemment des nombres plus petits que l'unité ; il est visible que la proportion

d'algèbre. 265

équivaut à Téquation

— Da=-Da ou a celle-ci — = ^ ; n q n q

il suffira donc de démontrer que la différence entre les deux

membres — et - décroît à mesure que jr augmente et que d

diminue.

Remarquons à cet effet qu'en vertu du n** 538 les équations (1) peuvent s'écrire de cette manière

log — == d log ^■—'=1^ d,

et, en représentant la base par a,

ou bien encore, si l'on chasse les dénominateurs,

ce qui nous apprend que y est le /^-|~ ^^ terme d'une progression

par quotient, dont le premier terme est j* et dont le ?+i®

terme est y\

Or, si l'on conçoit une progression par différence composée

de y-f-i termes, et ayant pour termes extrêmes jr et y\ sa

. . /' — r raison sera exprimée par -^ ^ et son p+i® terme par

j- + — (y — y)\ donc, à cause du lemme précédent, il viendra

et, en remplaçant^ — jr et y — x par d et — d,

mon* m © D / V

— D — ^^D< — , ou, — ■ — —< — , (n)

n q ar n q ^jr ^ '

après avoir divisé par d; ce qui prouve bien que la différence de — à - est d'autant moindre que jr est plus grand et que d est plus petit.

565. Problème. Déterminer les limites des erreurs que Fon peut commettre, en faisant usage de la proportion (m) du n^ précédent. Ces erreurs proviennent visiblement de ce que Ton y

suppose — = ^ , ce qui n'a lieu, comme on vient de le voir, n q

que par approximation.

\ ° Supposons d'abord que les différences d, — d et d soient

connueSj-et qu'il s'agisse de calculer — d; la proportion (m) fournira — d au lieu de —d; par conséquent, Terreur commise, abstraction faite des signes, sera ( — j d, expression qui,

à cause de Tinégalité (n), est moindre que — .

Dans le cas de d = i, d est la différence des logarithmes des nombres j'+i et j-, et la limite de Terreur est — ; si Ton fait

j-srir 100, on a d=/.ioi — /. 100 = 0,00432137... et par suite

d o,oo432i37.... ^

'ijr 2.100

L'erreur peut donc influer sur les cent millièmes; voilà pourquoi

Ton a pu se dispenser d'indiquer dans les tables les différences

des logarithmes consécutifs de 100 à 1000, et, à plus forte raison,

celles de i à 100.

Si Ton pose j=iooo, auquel cas d = /.iooi — /.looo

= 0,0004341 . . . . , il vient

d o,ooo434i»- z?