IV. Division des polynômes
70. Pour effectuer la division de deux polynômes, on ordonne le dividende et le diviseur par rapport aux puissances décroissantes d'une lettre commune, en ayant le soin de renfermer entre parenthèses les coefficients des termes affectés des mêmes puissances de cette lettre. On écrit le diviseur à la suite du dividende en les séparant par un trait vertical', enfin on souligne le diviseur pour écrire au-dessous les termes du quotient.
Cela fait, on divise le \^^ terme du dividende par /e 1®' terme du diviseur ; le résultat est le \ **" terme du quotient.
On retranche du dividende le produit du diviseur par le 1®^ terme du quotient', et après avoir ordonné le reste, on divise son 1®' terme par le l®*" terme dU diviseur; le résultat est le 2® terme du quotient.
On retranche du 1®"* reste le produit du diviseur par le 2® terme du quotient, et on obtient un 3i'' reste dont le 1®' terme divisé par le 1®^ terme du diviseur, fournit le 3® terme du quotient, etc.
On continue ainsi jusqu'à ce que l'on soit parvenu à un reste nul, auquel cas la division est dite exacte, ou à un reste algébriquement plus petit que le diviseur (n° 51).
Voici plusieurs exemples dans lesquels le dividende et le diviseur ont été ordonnés préalablement.
Exemple de division exacte.
Dividende.
i5a^ — ioa'^+25a^
1 «^ Reste, ga^ — i2a^-{-22a' — 120-4- 5
— Ga^-r \<^^ — io«
2« Reste 3*» Rester V Reste.
Za^ — aa + S 3a' — 2a -1-5
Diviseur.
Quotient.
5a^ 4"^^' — 2ût+ I-
Exemple de division avec reste.
Dividende.
3o«— fa^é—lo'é' + la*'
Diviseur.
3a<— io^6+o'6'
Quotient.
1 "' Reste. — 7.a'b -lab'+ {ab' — 2o'6+ioT-|a6'
faô-ô"
2« Reste. —6ab'-^\ab' -3aT + ia6^-
3« Et dernier reste. iab'A
Exemple de division complexe.
Dividende.
Diviseur.
(/;+i)a'~ia-i
Quotient.
i*"^ Reste. (6— i)a^— (^HOa'+û+i
2« Reste. —(6 + i)a-\'ba+î
3* Reste. . o
La preuve de la division se fait comme en arithmétique. On multiplie le diviseur par le quotient, et, si Ton a bien opéré, en ajoutant le produit avec le reste, on doit retrouver le dividende.
DÉMONSTRATION. Lc dividende étant égal au diviseur multiplié par le quotient , si Ton conçoit ce quotient ordonné suivant les puissances décroissantes de la même lettre que le dividende et le diviseur, le premier terme du dividende, en vertu du (n° 53), sera le produit du 1*' terme du diviseur par le l®*" terme du quotient;
or, si l'on divise un produit par Tun de ses facteurs, on a pour quotient Fautre: donc le résultat de la division du 1*^' terme du dividende par le i^^ terme du diviseur est bien le 1" terme du quotient.
Si Ton retranche du dividende le diviseur multiplié par le 1®*" terme du quotient, le reste exprime le produit du diviseur par tous les autres termes du quotient à l'exception du 1 ®' ; et si ce reste est ordonné, son 1®^ terme (n® 53) est le produit du 1®' terme du diviseur par le 2* terme du quotient.
On prouverait, par le même raisonnement, que le 1*' terme du 2® reste divisé par le l'*" terme du diviseur doit donner le 3® terme du quotient, et ainsi de suite.
En général : lei^' terme du m^™® reste divisé par le V terme du diviseur, fournit le m-f-1^"® terme du quotient. Soit en efîet A, B, R le dividende, le diviseur et ce m^"® reste; soit aussi p Tensemble des m termes connus du quotient et q la réunion des termes suivants, en sorte que le quotient complet et ordonné soit p-\-q, on aura A=B {p-\-q) ou A- Bjo-j-Bg. Retranchant Bp dans chaque membre et remarquant que A— Bp n'est autre chose que R, il vient R=Bq\ le i®'' terme de R est donc le produit des premiers termes de B et y (n** 53), et par conséquent le 1®' terme de R divisé par le 1" terme de B doit fournir le \^^ terme de ç, c'est-à-dire le m + i "^ terme du quotient.
Il est facile de déduire de ce qui précède, la nécessité (Fordonner le dividende, le diviseur et les restes successifs, et de réunir en une seule parenthèse tous les termes affectés d'une même puissance de la lettre principale. En effet, si l'on ne prenait pas cette précaution, le principe du (n** 53), sur lequel nous avons établi nos raisonnements, ne subsisterait plus, et la règle énoncée se trouverait généralement en défaut.
Enfin, pour compléter celte démonstration, nous ferons remarquer que les puissances de la lettre principale disparaissant successivement dans les différents restes par l'effet des soustractions, on doit arriver essentiellement à un reste algébriquement plus petit que le diviseur, après un nombre de divisions partielles égal, tout au plus, à la différence des plus forts exposants de cette lettre dans le dividende et le diviseur augmenté d'une unité.
d'algèbre. 33
' V. Remarques sur la division des polynômes.
H . Lorsqu'après avoir obtenu un reste plus petit que le diviseur f on continue à faire la division, on trouve généralement au quotient une série de termes^ affectés des puissances négatives de la lettre principale. Pour vérifier cette assertion, il suffira de diviser a» + 1 par a^ — a\
«+û*^+«"''+û~*+î^û""^+ ®tc.
72. Lorsgu^on a trouvé au quotient un terme dans lequel V exposant de la lettre principale est égal à la différence des plus faibles exposants de cette lettre dans le dividende et le diviseur y on peut en conclure que la division ne se fait pas exactement. Ainsi, dans Texemple précédent, quand on a trouvé au quotient le terme a—' dans lequel Texposant — 2 égale le plus faible exposant o du dividende diminué du plus faible exposant 2 du diviseur, on est certain que la division est inexacte.
En effet, supposons un instant que la division d'un polynôme par un autre soit exacte ; et soient m, n et a; les exposants de la lettre par rapport à laquelle on a ordonné, dans les derniers termes du dividende, du diviseur et du quotient, on aura entre ces trois nombres la relation n-\-x — m, puisque le dernier terme du dividende provient sans réduction du dernier terme du divi^
seur multiplié par le dernier terme du quotient (n® 53), et que l'exposant d'une lettre d'un produit égale la somme des exposants de la même lettre dans les deux facteurs. De cette égalité, on retire x=^in — n; donc, si après avoir obtenu au quotient un terme affecté de la puissance m — n de la lettre principale, le reste n'est pas nul, la division est essentiellement inexacte. C. Ç. F. D.
73. En réfléchissant sur' la démonstration du (n® 70), on conçoit sans difficulté que la règle de la division peut s'appliquer également aux polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes d'une lettre commune, et qu'alors dans ce cas, le quotient est aussi ordonné de la même manière. Toutefois, il est à remarquer que les restes successifs croissant au lieu de décroître, il sera impossible d'arriver à un reste plus petit que le diviseur, si la division doit être inexacte surtout.
Ce nouveau procédé de division est employé, lorsqu'on veut obtenir le quotient en série procédant selon les puissances positives et croissantes de la lettre principale. Il prend alors le nom de série récurrente, à raison de ce que le coefficient de l'un quelconque de ses termes, peut se déduire de» coefficients des termes précédents d'après une loi uniforme. Pour fixer les idées, effectuons de cette manière la division de i -j-a par i — a—a^. i+a
i+2a-[-3a*-|-5a^-f8a^+etc.
aa+ct*
2a— 2a'— aa'
5a^+3o^ 5gB 5g4 5o5
On voit dans ce cas particulier que le coefficient de l'un quelconque des termes du quotient i + 2 a + 3a' -f 5a^ -|- 8a* + etc. égale la somme des coefficients des deux termes précédents, ce qui permet de le continuer comme il suit sans faire aucun calcul : x-l-2a -h 3a'+5a^-f8a*+ 1 3a«+2 1 a^+34a'-f etc.
d'algêbhe. 35
74. Lorsque le dividende et le diviseur sont homogènes, te quotient est homogène et d^un degré égal à la différence des degrés du dividende et du diviseur. Tous les restes sont aussi homogènes et de même degré que le dividende. Soient m et n les degrés du dividende et du diviseur, le 1®' terme du quotient résultant de la division d'un terme du degré m par un terme du degré n est du degré m — n. Le produit du diviseur par le 1" terme du quotient sera donc (n** 45) du degré n-^-m — n ou m» et par conséquent le i*' reste qui provient du dividende diminué de ce produit sera aussi un polynôme homogène du degré m. On démontrerait de la même manière que le second terme du quotient est du degré m — w, et le 2® reste un polynôme du degré m, et ainsi de suite.
Celte loi peut servir à vérifier les exposants du quotient dans le cas où le dividende et le diviseur sont homogènes. Nous citerons pour exemple la 2® division effectuée dans le (n** 70).
75. Un polynôme ne peut être exactement divisible par un autre polynôme indépendant de la lettre suivant laquelle il a été ordonné, que lorsque tous les coefficients de cette lettre, dans le premier, sont exactement divisibles par le second. Pour fixer les idées , représentons les deux polynômes par Aa^ + Ba*-{-Ca-[-D et P; A, B, C, D et P étant des expressions indépendantes de a; et cherchons le quotient de la manière ac-
coutumée. On trouve pour résultat p a' + p a*+ p a+ pî *1
faut donc, pour que les coeiEcients de ce quotient soient entiers, que A, B, C, D soient exactement divisibles par P. C. Q. F. D.
Ainsi le polynôme [b^ — i)a'-f-(6 — ï)a+(6 — i)' n*est pas divisible par 6+1» à raison de ce que b — i, [b — i)' ne sont pas divisibles par 6-|-i ; mais il est divisible exactement par 6— i, et Ton trouve le quotient (6-[-i)a*-f a-(-(6— i), en observant que 6«-i . , 6-^1 (6-1)' - .
76. En général, le fait seul de la division peut apprendre si un polynôme est exactement divisible par un autre. Cependant, dans certaines circonstances, on peut prévoir que la division est
inexacte; c'est ce qui arrive, par exemple, lorsque le dividende étant un monôme, le diviseur est un polynôme, ou bien lorsque le diviseur renferme des lettres qui ne se trouvent pas dans le dividende. Car, dans le 1"cas, le quotient ne peut être un monôme ni un polynôme, puisque si cela était, multiplié par le diviseur, il reproduirait au moins un binôme (n" 54) , et dans le second, il n'existe pas de polynômes qui, multipliés par le diviseur, donnent un produit indépendant de certaines lettres de ce diviseur.
YL Sur la différence des puissances m d« deux quantités.
77. La différence des puissances m de deux quantités est exactement divisible par la différence de leur première puissance, et le quotient se compose des m produits homogènes du degré m — i que l'on peut former avec ces deux quantités.
Désignons par A et B deux quantités quelconques, et afin de nous préparer à la démonstration générale, divisons A' — B*, A'— BS A''— B4, etc. par A— B.
