A'B— B* A'B— A»B* A»B'— B* A*B*— AB

AB'— B« AB'— B

A'4-A*B+AB'-)-B'

Tous les quotients que nous venons d'obtenir sont exacts, et conformément à rénonce, les termes de chacun d*eux sont d*^n degré inférieur d'une unité à celui du dividende et en nombre égal à ce dernier degré.

Élevons-nous actuellement au cas le plus général et divisons A«»B« par A— B.

A'"-'+ A"'-*B + A'-^B' + etc.

4 •'Reste. A°^-'B— B""

2« Reste. A"-'B*— B"

3« Reste. A"-'B^— B"^

etc....

En examinant les restes successifs A'^^'B — B™, A'^^^B'— B"*, A""^B^ — B" etc., on s'aperçoit qu'ils ont tous le même second terme — B", et que dans le <®' terme de l'un quelconque d'entre eux, l'exposant de B indique le nombre des divisions partielles efieciuées, et que celui de A est égal à m diminué de celui de B; on peut donc conclure par analogie qu'après m divisions partielles, le reste sera A"»-"*B"»— B-" ou A**B"*— B"* ou bien enfin o, en observant que A®= i . Conséquemment le quotient de A"— B°* par A — B est toujours exact, quel que soit w, et il se compose de m termes qui sont visiblement du degré m — i, de sorte que les deux derniers termes sont AB"~'-}-B"""*.

Pour vérifier ce résultat, on peut multiplier Ife quotient que Ton vient de trouver par A — B, et l'on retombe bien, comme on le voit ci-dessous, sur le dividende A" —B".

A—'-hA^-'B-hA^-^B'. . . .-j-AB^-'+B"»-'

A"»+A"-'B+A"»-»B'. . .4-A'B"-*+AB»-^ — A"»~^B-A"-*B'— A«»-^B\ . . .— AB"»-'— B"»

78. Pour faire une application de la formule précédente, cherchons les conditions essentielles pour qu'un nombre soit di^ visible par 9 ou par 3. Considérons pour fixer les idées le nombre particulier 578g. On pourra récrire ainsi (n** 47)

5Xio*'f7Xio»-{-8Xio+9 et par suite, en observant que toutes les puissances de Tunité sont égales à Tunité, il pourra se mettre sous la nouvelle forme 5(10^— i^)+7(io*-i*)+8(io— i) +5 +7 +8 +9

or, les expressions lo"^ — 1^ 10*— i*, 10 — i étant exactement divisibles par 10 — i ou 9, la première ligne iîst elle-même exactement divisible par 9 ou par 3. La condition cherchée §e réduit donc à ce que la seconde ligne soit en même temps divisible par 9 ou par 3 ; cette seconde ligne étant composée de la somme des chiffres du nombre donné, la règle pourra s'énoncer ainsi : H^ wn nombre est divisible par 9 ou par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multii>le de 9 ou dfi 3 ; 2® le resite que ^'a« 06tient en divisant un nombre par q ou par 3, est égal à l'excès de la somme de ses chiffres, jsur le plus grmiji multiple ,de 9 ou de ? que cette somme renferme.

CIÎAPITRE V.