II. Réduction des fractions à leur plus simple expression

80. On réduit généralement une fraction à sa plus simple ex<pression , en divisant ses deux termes par leur plus grand commun diviseur : mais la recherche de cette quantité, qui d'ailleurs n'est pas essentielle pour l'intelligence des théories que nous nous proposons de développer, est trop compliquée pour trouver place ici. Nous nous bornerons donc à faire voir, par plusieurs exemples, comment on peut suppléer à cette recherche, dans beaucoup de cas, par la suppression des facteurs communs aux deux termes de la fraction, facteurs que l'on aperçoit aisément lorsque l'on a un peu d'habitude.

Soit d'abord à réduire la fraction — 7 , on peut la mettre

acf — agc ^

sous la forme — ,^^__ . , et en supprimant au numérateur et au

dénominateur le facteur ac, ce qui ne l'altère pas, on obtient : b

f-9 Soit encore la fraction -5 ï, on voit de suite qu'elle peut

u tic

., . . . b{a — c) ,. Ha—c)

s écrire ainsi ~r-i ir» ou bien -7 — ; — r-r-^ — r** puisque

a* — c*=:(a-f ^) (« — ^)- Supprimant le facteur a— c commun aux

deux termes, il vient pour la fraction réduite -7 — r— r .

Soit, pour dernier exemple, à réduire à ses moindres termes

la fraction ., , , r tî . Remarquons que

a^b-^a^c—abc — ai* ^ ^

2® a*6-|-a*c — abc — ab*=a[ab'\-ac — bc — fc') =a[a[b -f- c)—b{b-\-c)] == a(a— 6) (6 +c) ; et que par suite la fraction donnée devient

(a+&)(a— 6)(fr+c)(6-c)

ou bien en effaçant dans les deux termes les facteurs communs a—b

et 6-f (?, V ' ^^ ^ , expression qui est visiblement irréductible.

m. Calcul des fractions.

81 . Le calcul des fractions algébriques étant absolument semblable à celui des fractions numériques, nous nous contenterons d'en rappeler ici les principales règles.

i ^ Pour ajouter plusieurs fractions données, il faut les réduire au même dénominateur (on multiplie à cet effet les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les autres), et prendre ensuite la somme de leurs numérateurs, en Vaffectant du dénominateur commun. Exemple :

a , c , e 5^ 1 *£/ I M? adf-\-bc[^bde

b'^d^J"bdf^bdf'^bdf~ bdf

d'algèbre. 41

2" Pour retrancher une fraction d'une autre, après les avoir ramenées au même dénominateur, on soustrait le numérateur de la première de celui de la seconde, et on affecte la différence du dénominateur commun. Exemple :

a+& a-b ^ (a+&)' [a-by ^ (p-f &)'— (g— &)« a—b a+b~ a^—b^ a'-b^ a'—b^

— a^—bt — a^'—b' •

3* On fait le produit de plusieurs fractions, en multipliant leurs, numérateurs et leurs dénominateurs séparément. Exemple : abc abc

"S=T^ "ô+ÏT ^ aH*' "" (a— 6)(a+6)(a'+i')

abc abc

~ {a^-b')[a+b') ~ a^—b^ ' 4° Pour faire la division des fractions, on multiplie la fraction dividende par la fraction diviseur renversée; ou bien encore, si cela est possible, on divise numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur. Exemples :

o< b^ -a'+i ~ (o'- b^)[a^-]-b^) " ab a b

IV. Changement qu'éprouve une fraction lorsqu'on retranche une même quantité de ses deux termes.

82. Prenons l'expression générale t qui représente une fraction proprement dite, l'unité ou un nombre fractionnaire, suivant que a<:b, a= b, a>b, et retranchons de ses deux termes

le nombre k, de manière qu'elle devienne , . ; en désignant

par X la diminution qu'elle a éprouvée par cette modification ,

nous aurons a?= t r — rî d'où, en faisant la soustraction,

ab — ak ab — bk bk — ak ,. .. . i

a? == 777 — îT -^ 777 — 77 = TTi — 77* ^u bien 60 mettant k en b[b — k) b[b — k) b[b — k)

facteur dans le numérateur, x== ,), . ,{ .

Tant que b — a et b — k sont de mêmes signes, x est positif et indique, comme nous Tavons supposé, Texcès de t sur

mais si b — a, b — k sont de signes différents, x devenant négatif,

doit être pris dans un sens^opposé (n° 28), et indique alors que

.. remporte sur -j-.

Supposons en premier lieu a<:6 auquel cas 6 — a est positif; suivant que k sera <:ou> i, b — k sera positif ou négatif, d'où il suit: qu'une fraction propretnent dite croit ou décroît suivant que Von retranche de ses deux termes un nombre plus grand ou plus petit que son dénominateur. Ainsi,

— < ^ ou — 5— ou -7-; et — > 5- ou - •

Supposons maintenant a>é, c'est-à-dire 6— a négatif; a? sera positif ou négatif selon que k sera > ou < è, ce qui permet de conclure : qu'un nombre fractionnaire croît ou décroît suivant que Fon soustrait de ses deux termes un nombre plus petit ou plus grand que son dénominateur. Exemple :

-z- < -T — T- OU ^; et -7:- > -z — ou ou bien — .

5 5—0 2 5 5 — iD —10 10

Si le nombre k était égal à i, on aurait x= ,|, .: , ou

X = ; pour interpréter ce résultat , remarquons qu'une

fraction est d'autant plus grande que son dénominateur est plus petit relativement à son numérateur. Lors donc que le numérateur d'une fraction étant fini, son dénominateur est infiniment petit

ou G, elle doit acquérir une valeur infinie. Ainsi régalitéa:=

fournit x=s«ouap= — 00 suivant que aest <:ou>6. Ce qui nous

d'aloèbre. 43

^{N'^d que, lorsque k = b, la différence entre la fraction donnée et la fraction modifiée est infiniment grande (n** 13).

II nous reste à examiner le cas de a=é pour lequel l'expression

X = , -, .1 devient a?~ -Àj — ri ou a?=o. Une fraction égale à

PunUéne <^hange donc pas de taleti/r, quel que soit le nombre

que l'on retranche de sts deux termes; ce qui d'ailleurs est

évident.

Enfin, si Ton a a ss 6 et en même temps k^=b, l'égalité

kib—a) . ., kxo , . ,o

X = T77 — n fournit x = ttt- ou bien x = - .

b{b — k) bXo o

La différence x se présente alors sous une forme indéterminée

(n^ 64) ; ce qui provient de ce que, dans cette circonstance, la

fraction modifiée est elle-même sous cette forme.

.83. Le numéro précédent offre l'exemple d'une discussion

complète. On appelle ainsi l'examen de toutes les circonstances

remarquables dont une formule est susceptible, lorsque l'on fait

varier les différentes lettres dont elle est composée. On pourra

s'exercer, en suivant la même méthode, sur le changement que

subit une fraction, quand on augmente d'une même quantité son

numérateur et son dénominateur.