I. Généralités
84. La puissance m d'une quantité, comme nous l'avons dit (n* 9), est le produit de m facteurs égaux à cette quantité. On indique cette opération en renfermant la quantité dans voe parenthèse à laquelle on donne pour exposant le degré de la puissance. Ainsi
(3a'4)^= ia'b X ia*b X da'b X 3a'6 X 3a»é, {Q^—UcY^{a*—Uc) [a'—Uc) (a*—Uc),
En général, (a -}- é -f c + ^+ etc.)"*, indique la puissance m du polynôme a^b-{-c-\-d-\- etc.
85. La multiplication donne le moyen de développer successivement toutes les puissances d'une expression quelconque. En effet, par définition, le carré d'une quantité est le produit de cette quantité par elle-même; le cube, le produit du carré par cette quantité; la 4® puissance, le produit du cube par cette quantité, etc. En général, en multipliant une puissance quelconque d'une quantité par cette quantité, on formera la puissance suivante.
Si la puissance à développer était négative, on la ramènerait au développement d'une puissance positive au moyen du principe du (n^ 66).
86. Notre but, dans ce chapitre, sera d'indiquer quelques procédés pour simplifier le calcul des puissances des nombres et des quantités littérales, et en même temps de faire connaître plusieurs résultats dont nous ferons par la suite un fréquent usage.
IL Sur les puissances des nombres.
87. La règle des exposants, dans la multiplication, peut servir à former une puissance déterminée d'un nombre^ sans passer par toutes les puissances inférieures. Pour fixer les idées à cet égard, proposons-nous de former la 12® puissance d'un nombre quelconque.
On formera, i** le carré en multipliant ce nombre par luimême ; 2° la 4® puissance en multipliant le carré par. le carré ; 3° la 8* puissance en multipliant la 4® puissance par elle-même; 4** enfin, la i 2® puissance en faisant le produit de la 8® par la 4®. En effet, si l'on représente ce nombre par A, on a AXA=AS A*XA'-AH A4xA4=A^ A«XA4.=A"; ainsi, pour développer 3", on fera les calculs suivants 3x3=9, 9X9=81, 8iX8i=656i, 656i X8i=53i44i;
donc3*'=53i44i-
On aurait pu former d'abord le cube, puis multiplier le cube par lui-même, ce qui aurait produit la 6* puissance, et enfin former le carré de cette dernière pour obtenir la i 2*, ce qui résulte de ce que A^xA^=A^ A^xA^^A".
Ce qui précède sufSt pour faire comprendre comment on peut abréger la formation d'une puissance donnée d'un nombre. Ce procédé s'applique également à toute espèce de quantités.
88. La puissance m de \o ou lo™ est égale à runité suivie de m ze'ros, et réciproquement l'unité suivie de m zéros est égale d lo".
En effet, io*=io et réciproquement io=io*
10* ou lOX 10=^100 IOO = IO*
lo' ou lOOX 10=1000 IOOO=IO^
10^ ou 1000 X 10=10000 10000=10^
etc. etc.
d'où l'on peut conclure en général que io"=i suivi de m zéros, et réciproquement que i suivi de m zéros égale lo".
89. Pour élever une fraction à une puissance quelconque, il faut élever ses deux termes à cette puissance. Ainsi :
(■|?=^y= I^Ë^- Généralement (^j" = g^î en effet
/A\>A A A^ f^V— ^ ^ = ^ \BJ ~B ^ B~B'' \B/ ~ B' ^ B B^' /A\4 A\ A A4 ,
en continuant ainsi, on prouverait évidemment que cette règle
/A\" A" convient à toutes les puissances ; donc! :^ i = k^ •
90. 1° Les puissances successives d'un nombre plus grand que l'unité, croissent rapidement et convergent vers Finfini; 2** celles dune fraction proprement dite décroissent au contraire et tendent vers zéro.
<® On démontre en arithmétique que le multiplicande est plus petit que le produit, lorsque le multiplicateur est plus grand que Funité. Donc, désignant par A un nombre plus grand que l'unité, on a A<AXA ou A% A'<A*XA ou A^ A^<A^XA ou A^; etc. Donc les quantités A, A', A^ etc.^ croissent et convergent vers l'infini, en sorte que A"=s qo .
i^ On démontre également en arithmétique que le multiplicande est plus grand que le produit lorsque le multiplicateur est plus petit que Tunité; ainsi A étant <:i, on a les inégalités suivantes: A>AX A ou A', A*>A'XA ou AS A^>A^XAouA^ etc. Les puissances de la fraction proprement dite A, décroissent donc et tendent par conséquent vers zéro, de manière que A- = o.
m. Toutes les puissances d'une fraction irréductible sont irréductibles.
91. Ainsi les puissances ?, ?, ^, ir, etc. de la fraction irréductible | sont réduites à leur plus simple expression. Cette vérité, dont nous ferons bientôt usage, s'établit au moyen des principes suivants.
92. Lorsqu'une fraction est égale aune autre fraction irréductible, les deux termes de la première sont des multiples
égaux des deux termes de la seconde. Soit en effet g = r » r
étant une fraction réduite à ses moindres termes , appelons D le plus grand commun diviseur' entre A et B et remarquons qu'en
divisant par D les deux termes de la fraction - , elle sera rendue
irréductible et deviendra t en vertu de la supposition ; on a donc
jr =a, =- = 6, et en multipliant les deux membres de ces égalités par D, il vient A = a D, B = i D. C.Q.F.D.
93. Tout nombre premier qui divise un produit de deux fac" teurs divise exactement l'un ou l'autre de ces facteurs. Soit ce nombre premier ji? qui divise le produit AXB, et soit Q le quotient
AxB
de manière que = Q. Si jt? ne divise pas A, je dis qu'il di«
vise B. En effet, divisons les deux membres de l'égalité précédente
par B, on obtient - = ^ . Or - étant une fraction irréductible, ^ ' p B p
&*At.Q&BRB. 47
Q et B sont des multiples exacts de A et de p [n^ 93) ; donc B est divisible par p.
9i. Tout nombre premier qui divise exactement une puissauce quelconque d'un nombre, divise aussi exactement la première puissance. Si le nombre premier p divise exactement A", il divise aussi A; en effet, A"=AxA""' ; donc (n** 93), p divise A, ou A""' ; admettons qu'il divise A"-*, A"»-'=AX A"-». Donc p divise aussi A"*~\ On démontrera de même que p divise exactement A"*"^ A"*~'', etc. Il est clair qu*en continuant, on arrivera essentiellement à prouver que p divise A.
