IV. Extraction de la racine carrée par approximation

122. Il n'existe pas de règles générales pour reconnaître à priori si un nombre est un carré parfait. Cependant, dans certains cas, on peut prévoir qu'un nombre n'est pas un carré. Afin d'en donner un exemple, remarquons que tous les nombres étant terminés par un certain nombre de zéros ou par l'un des chiffres i , 2, 3, 4> 5> 6, 7, 8, g, leurs carrés ne peuvent être terminés que par un nombre pair de zéros ou par l'un des chiffres i, 4> 9» 6, 5, 6, 9, 4» i> d'où l'on est en droit de conclure que, tout nombre terminé par un nombre impair de zéros, ou par 2, 3, 7, 8, ne peut être un carré parfait.

i 23. La racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas un carré parfait, ne peut être un nombre fractionnaire. En effet, supposons, si cela est possible, que le nombre entier P ait pour

racine le nombre fractionnaire irréductible v, TégalitéK P= r produit en élevant les deux membres au carré P= r^i ce qui est

absurde, puisque j étant une fraction irréductible, p Test aussi

(n® 96), et qu'un nombre entier ne saurait être égal à une expression fractionnaire.

1 24. De là résulte une nouvelle division des nombres en cornmensurables ou rationnels et en incommensurables ou irrationnels.

On dit qu'un nombre est commensurable ou rationnel, lorsqu'il a une commune mesure ou raison avec l'unité (on entend par commune mesure entre deux nombres, un troisième nombre qui les divise exactement tous deux) : tels sont tous les nombres

entiers et fractionnaires ; ainsi 1 5 , -, — sont des nombres

7 " commensurables ayant respectivement pour commune mesure ayec

Tunité I , - , — .

7 II Les nombres incommensurables ou irrationnels sont ceux qui, n'ayant pas de commune mesure avec l'unité, ne peuvent s'exprimer exactement en chiffres, telles sont ^^2, ^^3, l^i5, etc., et en général toutes les racines des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits. On peut néanmoins obtenir ces sortes de nombres avec toute l'approximation désirable, comme on le verra dans les numéros suivants.