I. Principes fondamentaux

133. 4*' Principe. Le cube d'un nombre composé de dizaines et d'unités contient : \^ le cube des dizaines; 2® le triple carré des dizaines multiplié par les unités; 3® le triple des dizaines multiplié par le carré des unités; 4° le cube des unités. Ces quatre parties expriment respectivement des mille, des cen^ taines, des dizaines et des unités. Représentons par a et 6 les dizaines et les unités d*un nombre P et élevons au cube les deux membres de l'égalité P = a . 10 -}- 6| nous aurons (n** i 05)

p3= a^ . 1000 -j- da^b . 100 + 3a6' .10 + 6^ ou P^= a* mi//c + 3a'fe centaines -^-'iab"" dizaines -{-b^ u/nités. C. Q. F. D. Exemple : 5^5 =;r [So-\-yY = 126000 -|- 62600 + 7350 4-343 = 186193.

1 34. 2* Principe. La racine cubique d'un nombre entier se compose d'autant de chiffres, que ce nombre renferme de tranches de trois chiffres en allant de droite à gauche (la première tranche à gauche peut n'avoir qu'un ou deux chiffres). Ainsi

1/^235 a un seul chiffre, 1/^98.623 en a deux, 1/^7.646 .3o8 en a trois, etc.; en effet les cubes de i, 10, 100, etc , étant i, i.ooo, 1. 000. 000, etc., observons que 1** les nombres d'une tranche tombant entre i et i.ooo ont pour racine des nombres compris entre i et 10, c'est-à-dire d'un seul chiffre; 2° les nombres de deux tranches tombant entre 1.000 et 1000.000 ont pour racines

des nombres compris entre lo et loo ou de deux chiffres, etc.; on pourrait d'ailleurs généraliser cette démonstration comme nous l'avons fait pour la racine carrée dans le (n** 113).

IL Extraction de la racine cubique des nombres entiers.

135. Les cubes des neuf chiffres i , 2, 3, 4» 5, 6, 7, 8, 9, étant I, 8, 27, 64, 126, 216, 343, 5 12, 729, réciproquement, ces derniers nombres ont pour racine cubique les neuf premiers. Cette table suffit pour extraire la racine cubique d'un nombre composé d*une seule tranche à une unité près. Soit pour exemple, à extraire la racine cubique de 617. Ce nombre tombe entre 612 et 729 qui sont des cubes parfaits, et sa racine est comprise

entre |/ 5x2 et 1/^729 ou 8 et 9, donc |/"6i7 -- 8 à une unité près. Le reste est 61 7 -— 5 12 ou io5.

1 36. Passons à l'extraction de la racine cubique d'un nombre de deux tranches, et prenons, à cet effet, le nombre particulier 617.301; la racine cherchée ayant deux chiffres (n® 134), son cube 617.301 est composé de quatre parties (n** 133;, dont la première, le cube des dizaines , exprimant des mille , ne peut visiblement se trouver que dans la première tranche à gauche 617; extrayant donc la racine cubique du plus grand cube 5 12 contenu dans cette tranche, le résultat 8 est le chiffre des dizaines de la racine cherchée. Ce premier chiffre est essentiellement exact, car 617.301 étant compris entre 5x2. 000 et 729.000,

1^6x7 . 3oi tombe entre k^5i2 . 000 et 1^729.0^0 ou 80 et 90, ce qui fait voir que le premier chiffre de la racine ne peut être que 8.

A l'excès xo5 de la première tranche sur le plus grand cube qui y est contenu, joignons la deuxième tranche 3oi ; le nombre io5 .3oi ainsi formé, est la somme des trois dernières parties du cube de la racine; or, la première de ces trois parties étant trois fois le carré des dizaines multiplié par les unités, exprime des centaines, et ne peut se trouver que dans les centaines io53 du nombre précédent. Donc, si l'on divise io53 par trois fois le carré

D^ÂLGÈBRÈ. 6^

des dizaines 8, c*est-à-dire par 192, le qaotient 5 est le chiffre des unités de la racine, dont la valeur, à une unité près, est par conséquent 85.

Le reste s'obtient en cubant 85 et en retranchant le résultat 614. 125 du nombre proposé 617 .3oi, ce qui donne 3176.

1 37. En général, lorsque Von a un procédé pour extraire la racine cubique d'un nombre composé de n tranches, on peut l'étendre facilement à un nombre qui en contient n+i. On peut d^abord démontrer, qu'en extrayant la racine cubique des n premières tranches à gauche d'un nombre P composé de n+i tranches, on obtiendra les dizaines de sa racine. En effet, soit a^ le plus grand cube contenu dans ces n premières tranches, le nombre P sera visiblement compris entre a\ioooet (a+i)\iooo.

et par conséquent \/P tombera entre V^a^. 100 et l^(a-(-i)^ 1000,

c*est-à-dire entre a. 10 et fa4 1). 10; donc \/P est composée de a dizaines.

Le reste des n premières tranches suivi de la n+i^"" représente les trois dernières parties du cube de la racine cherchée, et si Ton sépare deux chiffres sur la droite, la partie à gauche pourra être regardée comme le triple carré des dizaines multiplié par les unités. Donc si Ton divise cette partie à gauche par le triple carré des dizaines obtenues, le résultat sera les unités.

Enfin, élevant toute la racine au cube et retranchant le nombre obtenu du nombre proposé, on aura le reste de l'extraction.

Exemple.

1 38. De là résulte le procédé suivant, pour extraire la racine

cubique d'un nombre entier; on le partage en tranches de trois chiffres de droite à gauche, et l'on eû^trait la racine cubique du plus grand cube contenu dans la première tranche à gauche. C'est le premier chiffre de la racine cherchée.

Au reste de la première tranche, on joint le premier chiffre de la seconde tranche, et l'on divise le nombre ainsi formé par le triple carré du premier chiffre, obtenu. Le quotient est le second chiffre de la racine.

On soustrait des deux premières tranches à gauche, le cube des deux premiers chiffrée de la racine, on joint au reste le premier chiffre de la troisième tranche, et Vo% divise par le triple carré des deux premiers chiffres de la racine, afin d'en obtenir le troisième.

On continue ainsi jusqu'à ce que l'on ait abaissé toutes les tranches du nombre proposé.