III. Remarques sur la règle précédente

\ 39. On ne peut mettre plus de q à la racine cubique d'un nombre. (Voyez, pour la démonstration, le n° 119.)

1 40. On reconnaît que l'on a trop mis à la racine cubique d'un nombre, lorsque le cube des chiffres obtenus est plus grand que le nombre formé par les tranches sur lesquelles on a déjà opéré.

141. On reconnaît que l'on n'a pas assez mis à la racine cubique d'un nombre, à l'inspection du reste qui doit toujours être moindre que le triple carré des chiffres trouvés à la ra-cine, plus trois fois ces mêmes chiffres plus un. Soit P la réunion des tranches abaissées, a la racine obtenue pour P, et R le reste de Textraction. Si R— ou>3a'+3û-|-i, je dis que a est au moins trop faible d'une unité. En efifet, régalitéP=a^4-R qui est la traduction de la preuve, se convertit en vertu de Thypothèse en P=ou>a^+3a'+3a+i, ou bien (nMOSJ P=ou > (a-|-i)\

d'où l'oa tire aisément y? = ou> a-f-i . C. (?. F. D.

D*ALGàw(E. 67

IV, Extraction de la racine cubique par approximation.

4 42. La racine d'un degré quelconque d'un nombre qui n'ui pas une puissance parfaite de ce degré, est incommensurable. Car il résulte de la supposition même, que cette racine ne peut être un nombre entier; en second lieu elle ne peut être une fraction, puisque toutes les puissances d'une fraction irréductible, sont aussi des fractions irréductibles (n** 95), et qu'un nombre entier ne saurait être égal à un nombre fractionnaire ; la racine d*un tel nombre est donc incommensurable : lelles sont les expressions

K*5,l^ii,l/"i7, etc.

^ 43. Pour approcher de la racine cubique d*un nombre à moins d'une fraction près, on le multiplie par le cube du dénominateur de cette fraction, on extrait la racine cubique du produit

à moins d'une unité près, et l'on divise le résultat par le déno-

minalewde la fraction donnée. Ainsi, pour obtenir )/^ 17 à {près,

on multiplie 17 par 5^ ou 125, on cherche la racine du produit

2125 à une unité prè$, on divise le résultat 12 par 5,. ce gui

donne ~ pour la racine cherchée.

m Soit P le nombre dont on veut trouver la racine cubique à —

près, a la racine cubique du produit w'P à une unité près, e la fraction inconnue qu'il faudrait ajouter à a pour compléter cette

racine, de sorte que |/ n^P~ a -\- e. Divisant les deux membres

par», en observant que l^n^P=nVP, puisque (n\/P)^^^n^P,

il vient \/P= — |-- en prenant a pour V P; Terreur est n n

p fît

donc - , quantité pli^ petite que — à raison de ce que e étant

moindre que l'unité, est à fortiori moindre- que m.

1 44. Pour approcher de la racine cubique d'ui; nombre entier,

par le moyen des décimales, on écrit à la suite autant de tran-ches de trois zéros que l'on veut obtenir de chiffres décimaux à la racine, on extrait à une unité près la racine cubique du nombre ainsi formé, et l'on sépare sur la droite le nombre de décimales demandé. Ainsi, pour trouver les deux premières

décimales de j/'g, on extrait la racine cubique de 9.000.000 à moins d'une unité et Ton sépare deux chiffres décimaux sur la droite du résultat 208, ce qui fournit 2,08 pour la racine cherchée.

En effet, trouver n décimales à la racine cubique d*un nombre

entier P, c'est en approcher à — - . Or, pour cela il faut multiplier P par le cube de 10" ou 10'", extraire la racine cubique du plus grand cube contenu dans ce produit, et diviser le résultat par 10" (n** 143). Ou, en d'autres termes, il faut extraire, à une unité près, la racine cubique de P suivi de n tranches de trois zéros, et séparer ri chiffres décimaux sur sa droite. C. Q. F. D.

4 45. La racine quelconque d'un nombre entier ne peut être exprimée par une fraction' décimale périodique ; car une telle fraction est équivalente à une fraction ordinaire.