V. Extraction de la racine cubique des fractions
146. la racine m*'^ d'une fraction est égale à la racine m*~ du numérateur divisée par la racine m*"*' du dénominateur. Ainsi
,>'^= lî; » «(»• M). (^)"- = i^ - î .
* \/b Wb' [Vb]-
1 47. Pour extraire la racine cubique d'une fraction , on distingue trois cas : 1 ^ les deux termes sont des cubes parfaits ; 2^ le dénominateur seul est un cube parfait, 3® le dénominateur n'est pas un cube parfait.
Dans le premier cas^ on extrait la racine cubique des deux termes de la fraction donnée. Exemple :
Dans le 2* cas, on cherche la racine cubique du numérateur par approximation^ et on la divise par celle du dénominateur qui est exacte. Ainsi, pour déterminer la racine cubique de la fraction -% dont le dénominateur 126 est le cube de 5, on cherche
la racine de 9 à 0,01 près, par exemple, et on divise le résultat
5oo'
2,08 par 5, ce qui donne -~— ou ■= — ; Tapproximation est évi-
demment de -z — .
Enfin, dans le 3® cas, on rend le dénominateur de la fraction proposée un cube parfait, en multipliant ses deux termes par le carré du dénominateur, ou tout autre nombre plus petit remplissant le même but, et l'on opère ensuite comme dans le second cas. Exemple :
l/— = 1/-^ = l^=:££j^=^ à--^ près.
''^ 3 ^ 27 3 3 3oo 3oo
148. Pour extraire la racine cubique d'une fraction décimale, on place à sa droite un nombre de zéros tel, qu'elle renferme trois fois autcmt de chiffres décimaux que l'on veut en obtenir à la racine, on extrait à une unité près la racine cubique du nombre entier résultant de la suppression de la virgule, et l'on sépare sur sa droite le nombre de décimales dont on est convenu. Ainsi, pour calculer les deux premières décimales de
k^io,45 on extrait à moins d'une unité, la racine cubique de 10.450. 000 et Ton sépare deux chiffres décimaux sur la droite du résultat 218, ce qui donne 2,18 pour la racine demandée.
En effet,
^ lOO ^ I.OOO
k I.OOO^OOO
La démonstfation générale est analogue à celle que nous avons donnée pour la racine carrée, dans le numéro 4S9.
<49. Pour obtenir en décimales la racine cubique d'une fraction ordin^iire, il faut la réduire en fraction décimale et pousser r approximation jusqu'à ce que Von ait trouvé trois fois autant de chiffres décimaux que Von veut en avoir à la racine. On opère ensuite comme dans le numéro précédent. Exemple :
à 0,01 près. .
< 50. La racine d\in degré quelconque d^une fraction ordinaire irréductible, ne petit être exacte, à moins que ses deux termes ne soient des puissances parfaites du même degré. En
effet, supposons que Ton ait \/^ S ~ A' r ®* 5 désignant des
fractions irréductibles ; élevant les deux membres de cette égalité
à la puissance m, on obtient celle-ci k = tï:> et comme ^
est une fraction irréductible (n** 95), îl faut essentiellement que A = a^ B=i». C. Q. F.D.
i6{. La racine d'un degré quelconque d'une fraction dé-dmale Vtt peut être exacte, si le nombre des chiffres décimauaç n'est pas un multiple de ce degré (on suppose que le premier cîiiffre à droite n'est pas un zéro). Cela résulte évidemment de ce que si un nombre a n chiffres décimaux, son carré en a 2n, son cube 3n, et en général sa m^* puissance w". C. Q. F. D.
