II. Propriétés des radicaux

173. On peut faire passer sous un radical du degré m un facteur placé en dehors du signe, pourvu que l'on élève ce facteur à la puissance m ; ainsi,

En efiFet, a^V^b^ = a^b'^=za'^ é»» =l^aP"6^. C. Q- F- D. Ex. 3 ^^I= k 3r^=r T8, a' ^^6 = ^^â¥,

174. Powr faire sortir un facteur de dessous un radical du degré m, il faut en extraire la racine m^ ainsi,

^^aP'"6^ = aPl/ b\ m ______^ E!îî il 3, "*

En effet, j/"aP"»A'>=r a"^ b"^ r^a^b"^ =a^ J^.

<75. On ne change pas la valeur d'un radical en multir

pliant ou en divisant par un même nombre son indice et tes exposants des facteurs qui sont sous le radical,

m mn m p q po qn

<** l^aPi'i^K'aP"^'»"; en effet, |/'âpïî = a°' i» =a"" b^

Ex.V ab'=^V^a'b'\ l^a- b^\^{a—b)'

pn qn p q

Ex. l^a^b''= Vab\ |/"a*— 206+6* = \^[a—b)^ = Va^b. III. Simplification des radicaux.

i 76. Réduire un radical à sa plus simple expression, c'est trouver un radical équivalent dont l'indice et les exposants des facteurs soient premiers entre eux.

177. Pour réduire un radical à sa plus simple expression, il faut diviser son indice et ses exposants par leur plus grand commun diviseur. Cette règle résulte évidemment de ce que Ton n'altère pas la valeur d'un radical en divisant son indice et ses exposants par le même nombre (175), et que d'ailleurs les quotients que l'on obtient en divisant plusieurs nombres par le plus

grand commun diviseur, sont toujours premiers entre eux.

ij

Soit à effectuer cette réduction sur le radical V^a^b^c^' le plus grand commun diviseur entre 12, 9, 6, 21 est visiblement 3 et

par conséquent |/"a^6V = k^a'6'(?\ On trouverait de la même

manière que k^a'°6^ = J/^a'ft.

178. On peut faire subir aux radicaux une simplification d'une autre espèce; elle consiste à ramener le radical donné à un autre dans lequel tous les exposants soient plus petits que l'indice.

Pour indiquer d'une manière générale comment on peut effec-

tuer cette transformation, considérons l'expression /"CaP^i dans laquelle C désigne un coeificient numérique. Décomposons d'abord le nombre C en deux facteurs K°* et H, de sorte que le pre-

d'algèbre. 84

mier K" soit une puissance exacte du degré m. Divisons aussi les exposants p eiq par w, représentons les quotients obtenus par ^ et ^ et les restes qui sont essentiellement plus petits que m par / et t, en sorte que p = ms-\-l,q = mt-^i; substituons dans le radical donné, K" H, m^ + /, m^ -f i aux trois lettres C, p, q, il viendra

|/ CaP6^ = l/^K"Ha"*'+*i"'+" ou — k^K"a"»6"'Ha^6S'

ou bien enfin (n° 474) l/'Ca?*^ = Ka'i' \^EaW, ce qui ramène ainsi le radical proposé à la forme demandée. Exemples :