flv

Im de -i — , \ , .

Multiplions à cet effet les deux membres de Tégalité (B) par

a-f-o; le premier membre devient -^^ ^- — et si, pour éviter

les calculs, nous nous bornons à considérer dans le second le

terme qui est affecté de i" après la multiplication, on trouve

qu'il provient de

et quil est égal à

ou bien enfin à (m+i) -, ; — r .

Si tel est le terme général du développement de ' — , il

est visible que le terme général de celui de — ^ — r-^ — r est ^ ^ i.2...(m+ i)

m— B+l Au

La loi dont il est question se vérifiant pour m=2 doit aussi se vérifier par m=2-t-i ou 3, et par suite pour m=3-(-i ou 4, etc.; donc elle est générale.

Multiplions actuellement les deux membres de Tégalité (B) par 1.2.3... m et omettons les facteurs communs aux deux termes de chaque fraction du second membre, il vient

d'aloèbbe. 9i

^d.f^)» = a»»-finfl— *6+ '°('°"~') , a«-«6t |,

m(m— O-fm—n+a) ^,^^.,^^j^ ffl(OT— i)(m— 2)..(m— n4- 1 . 2....{n— -i) I . 2 . 3 . . . . n

o"-"*" | «*("»— I ) ^.^,.-, [nta^m-i | ^» . , . (c).

C'est la célèbre formule du binôme de Newton ; si Ton y fait m5= I, m=2, m=3, etc., on retombe sur les formules (A).

L'inspection de cette formule apprend de suite que davis un terme quelconque l'exposant de a marque le nombre des termes qui suivent, et celui de b le nombre des termes qui précèdent ; et comme d'ailleurs tous les termes de cette formule sont du degré jw, il s'ensuit qu'elle est composée rfe m + 1 termes.

Tous les coefficients numériques i, m, — -^ , etc., du dé-

veloppement de (a-}-*)" sont des nombres entiers; car (a-j-A)"" est le produit de m facteurs égaux à a-}-6 ; et lors(jue les coefficients des facteurs sont des nombres entiers^ ceux du produit doivent l'être pareillement.

La somme de tous les coefficients numériques de la formule de Newton est égale à 2". En effet, en posant a = 6»= i dans cette formule, on obtient

, , m{m — i) , ^ , mim — 1) , ,

2"=»=i'fm-i ^ ' +etc,...H ^ +m+i.

Les termes également éloignés des termes extrêmes ont des exposants réciproques et des coefficients égaux. Car dans la formule (B) les termes précédés et suivis de n termes étant

et

jouissent évidemment de la propriété énoncée. Donc, cette propriété convient aussi à la formule (C) qui, comme nous l'avons vu, se déduit de la formule (B) par une simple multiplication. En comparant dans le développement de (a-|-6)'" le terme du

rang n+ i — ^ — 5—^ — ^ ^—^ a" "&■ avec le terme

précèdent ^ — -^ 1 — i— — J^ ^m-n+tftn-i ^^ ^^^^^^

que le premier égale le second multiplié par ^"~^\ ^. j'où

il suit que pour déduire un terme quelconque du précédent, il faut multiplier ce dernier par l'exposant de a dans ce terme, diminuer cet exposant d'une unité, augmenter celui de b d'une unité et diviser par l'exposant de h ainsi augmenté. Cette règle fournit un moyen très simple de déduire tous les termes de la puissance m de a +6, du 4®^ a".

En développant [a-^-by par ce procédé, on trouve de suite

on obtient en suivant le même procédé

-\-8ab'^ + b\ Considérons actuellement les puissances des polynômes, et d'abord puisque le terme général de

esi

celui de ^ "^ ' ^ s'en déduira en changeant 6 en i +c et I • 2... m ^ '

'"'^ i.2...(m-n) Trr::^^' "'^ '" *'™' ^^""^'^^ ^^ ^^^« ^+^ ^«

—- — - est ■ -^ ' donc le terme général de

— ^ est 7 . • r • ou bien

aP b*i c^

. . en posant m — n = », n — r = <7

et en observant que m — n-f-n — r=p-f-? ^^ P^^ conséquent

En changeant c en c-j-d, on trouverait de même que le terme

général de (£±*±£±^ est -^ J^ -^L- -il-, 1.2. ...m 1.2...JP i.2...g i.2...r 1.2...^

J^H"? "f" ^ + ^ étant égal à w, etc. ; de là il est facile de déduire une règle fort simple pour la formation des puissances des polynômes.