I. Résolution des problèmes
496. Un problème est une question dans laquelle on se propose de déterminer une ou plusieurs quantités inconnues^ à l'aide des relations qui les lient à d'autres quantités connues.
Ces relations, qui constituent X énoncé, sont plus ou moins difficiles à apercevoir, et se nomment conditions du problème.
\ 97. Les conditions d'un problème peuvent être explicites ou implicites ; elles sont explicites lorsqu'elles se trouvent comprises dans son énoncé, et implicites, lorsque^ sans y être mentionnées, elles en sont des conséquences plus ou moins immédiates.
198. La résolution d'un problème d'algèbre se compose toujours de deux parties :
La première consiste à saisir les diverses conditions de l'énoncé, et à exprimer chacune d'elles par une égalité qui prend alors le nom Adéquation. Cela s'appelle mettre le problème en équation.
La seconde a pour objet la résolution des équations , c'est-àdire la détermination des inconnues qu'elles renferment.
\ 99. Il n'existe pas de règle précise pour mettre un problème en équation. Ce qu'il y a de mieux à cet égard est, sans contredit, le précepte suivant, dont nous ferons par la suite de nom-t breuses applications. On représente les quantités inconnues par
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des lettres (ce sont ordinairement les dernières x, y, z, etc.). PuiSy supposant le problème résolu, on se comporte absolument de la même manière que si l'on voulait en faire la vérification. Chaque condition fournit ainsi, pour une même quantité^ deux expressions égales et de forme différente, et par conséquent donne lieu à une équation.
Quant à la résolution des équations , elle est purement de calcul, et ce deuxième livre lui sera entièrement consacré.
200. Eclaircissons ces notions générales par un exemple: Deux frères ont ensemble 5o ans et l'aîné avait 12 ans à la naissance de son frère. Quel est l'âge de chacun d'eux ?
Mettons d'abord le problème en équation ; représentons par X rage de Taîné, par y celui de son frère, et remarquons qu'il y a ici deux conditions.
En vertu de la première qui est explicite, la somme des âges x et y des deux frères est 5o ans ; ce qui se traduit ainsi en algèbre,
La seconde condition est implicite , et se déduit dé l'énoncé, en observant que la différence de 12 ans qui existait entre les âges des deux frères à la naissance du plus jeune, subsiste encore après un temps quelconque ; donc x — t/ = 12. Résolvons actuellement les deux équations
x-\-y=ss5o, a? — j/= 12.
En les ajoutant membre à membre, on obtient a? + ï+a? — Jf==5o+i2, ou en réduisant 20; ^^ 62 ; prenant la moitié de chaque menibre^ il vient x = 'ii. Retranchant la seconde équation de la première, on trouve
x-^-y — a?+j/ = 5o — 12, d'où 2^ = 38 et y=s 19. Les deux frères ont donc, l'un 3i ans et l'autre 19. Pour vérifier cette solution, remplaçons x et y par 3i et 1 9, dans les équations a? + î^ = 5o,ar—y=i2; elles deviennent 3i-f-i9^^5o, 3i — ig=i2,
ce qui est exact.
201 . On distingue trois espèces de problèmes : les problèmes déterminés, indéterminés et impossibles.
d'aloëbrb. 95
t*^ tin problème est déterminé quand îl a une solution ou un nombre fini de solutions. Tel est celui qui vient d^être résolu.
2** Un problème est indéterminé quand il est susceptible d'une infinité de solutions. En voici un exemple : Un père a 3o ans à la naissance de son fils : à quel âge le fils aura-t-il 3o ans de moins que son père ? Cette condition se trouve visiblement remplie quel que soit Tâge du fils. Ce problème est donc indéterminé. 3"" Un problème est impossible quand il n'a aucune solution. Ex. Un père à io ans à la naissance de son fils : à quel âge le fils aura-t'il 36 ans de moins que son pèrefll est manifeste que cette condition ne peut jamais avoir lieu, et que par conséquent cette question est impossible.
