II. Notions générales sur les équations

202. Une équation est l'expression de l'égalité de deux quantités. Ex. 5as — ^=8—x.

203. L'ensemble des termes qui précèdent le signe d'égalité forme le premier membre de l'équation, et l'ensemble de ceux qui le suivent en forme le second membre. Ainsi 5a? — 4 ^^ ^ — ^ sont le premier et le second membre de l'équation 5a? — ^ = 8 — a?.

204 Une équation peut renfermer deux ou un plus grand nombre d'inconnues. Ex. L'équation xy==x — y contient deux inconnues a? et y ; l'équation x^-^y^-^-z^^-xyz en contient trois X, y et z.

205. Les équations sont numériques o\x littérales', numéri-ques, lorsque les quantités connues sont des nombres ; littérales, lorsqu'elles sont des lettres, ou des lettres combinées avec des nombres. Ex. Sx — 4=^ — ^ ^st une équation numérique; ax-\'b = c — dx une équation littérale.

206. Résoudre une équation à une seule inconnue, c'est trouver un nombre qui, mis à la place de l'inconnue dans l'équation, rende ses deux membres numériquement égaux. Ainsi l'équation 5a: — 4=8 — a? est résolue para? = 2, car en substituant, on obtient 5X^^ — 4=^8 — ^ ou6=a6.

En général, résoudre plusieurs équations à plusieurs inconnues, c'est déterminer des nombres qui, substitués aux inconnues dans ces équations , vérifient séparément chacune d'elles. La question du n"* 200 a conduit à la résolution de deux équations à deux inconnues.

207. Il y a trois espèces d'équations, savoir : V équation proprement dite , Véquation identique ou Videntité, et Véquation impossible.

i"" Véquation proprement dite est celle qui n'a lieu que pour une seule valeur ou un certain nombre de valeurs de l'inconnue. Telle est l'équation 5a? — 4=8 — x qui n'est satisfaite que par a? = 2, et l'équation a?' — 5a? = —6 qui ne l'est que par a? =2 et a? = 3.

2^ Véquation identique ou Videntité est celle qui subsiste pour toutes les valeurs assignées à l'inconnue. L'équation 20?+ 1 =20?+! est identique, car elle est vraie, lorsqu'on suppose 0?= 0, 0?= I, 0?= 2, a? = 3, etc., et en .général quel que soit le nombre mis à la place de a?.

Toutes les identités ne sont pas, comme celle qui précède, évidentes au premier coup d'œil ; mais elles se manifestent toujours, lorsqu'on effectue les opérations indiquées et que l'on fait la réduction. Veut-on reconnaître, par exemple, si l'équation

(x — I )'4-2a? — 2 = (a?+ i){x — i) est identique? On forme le quarré de a? — i (100) et le produit (a?+ I ) ( a? — I ) (46), et l'on trouve

X* — 2a?4-i + 2a? — 2 = aî* — i ou a?* — 1=0?' — i. Cette équation est donc identique.

3® Véquation impossible est celle qui ne peut être satisfaite par aucune valeur de l'inconnue. L'équation a?+5==a?+7 est impossible, car ses deux membres ne peuvent devenir égaux quelle que soit la valeur attribuée à a?.

II est facile de s'apercevoir que ces trois espèces d'équations correspondent aux problèmes déterminés, indéterminés et impossibles.