On appelle degré d'une équation à une seule inconnue

le plus haut exposant de rinconnue dans cette équation. Ainsi, 5x — 4=8—0? est une équation du premier degré, a?- — 5x= — 6 une équation du deuxième degré, et x^ — 70^=10 une équation du troisième degré.

Généralement, le degré d'une équation à plusieurs inconnues est la plus forte somme des exposants des inconnues dans un terme quelconque de cette équation. Ex, les équations ix — 2j/ = 5, xy — X — y = 5, x^y^—y^=y, sont respectivement du premier, du second et du septième degré,

209. La résolution des équations se complique singulièrement à mesure que leur degré augmente ; nous nous proposons seulehient d'en développer la partie élémentaire.

m. Transformation des équations.

210. On a pour but dans la transformation des équations de les ramener à une forme plus simple, et par là d'en faciliter la résolution. H'ne sera question dans ce paragraphe que des transformations communes à toute espèce d'équations.

21 1 . Pour faire passer un terme d'un membre d'une équation dans l'autre, il faut supprimer ce terme dans le membre où il se trouve et V écrire dans Vautre avec un signe contraire. En effet, supprimer dans un membre un terme positif ou négatif, c'est diminuer ou augmenter ce membre de la valeur absolue de ce terme; donc, pour maintenir l'égalité, il faut aussi diminuer ou augmenter l'autre membre de la valeur absolue de ce même terme, c'est-à-dire l'y écrire avec un signe contraire.

Premier exemple. L'équation 7a? — 9 = Sa? — 5 se change en 70:— 307=9 — ^» ®" faisant passer le terme 3a? du second membre dans le premier, et le terme — 9 du premier dans le second.

Deuxième exemple. L'équation ajp-}-i = c — rfx se transforme en ax'\-dx=:ic — 6, lorsqu'on transpose b dans le second membre, et — dx dans le premier.

212. Il est permis de transposer les membres d'une équation ; ce qui résulte évidemment de sa définition (202). On emploie ordi-

Ô8 t^RINCIPES

nairement cette transposition quand tous les termes affectes de

rinconnue se trouvent dans le second membre. Ainsi, Féquation

oc oc

3=ar r- fournit tout de suitex r-=3.

21 3. On peut, sans altérer une équation, changer les signes de tousses termes ; car cela revient à transposer les deux membres, puis à faire passer tous les termes du premier membre dans le second, et tous ceux du second dans le premier. Ainsi, Téquation — ax'\-c = d—'Cx devient d'abord d — (?x= — ax'\-c, et ensuite ax — c=^ — d'\'Cx.

2ii. Pour faire disparaître les dénominateurs d'une équation quelconque, on réduit tous ses termes au même dénominateur, et l'on supprime ensuite le dénominateur commun. En effet, l'équation n*est pas altérée par la réduction de tous ses termes au même dénominateur, et ensuite elle n'est pas troublée par la suppression du dénominateur commun, puisque par là on rend ses deux membres le même nombre de fois plus grand.

Prenons pour premier exemple l'équation

X oX 1 2wC

les termes — , ?— , -^, -tt- réduits au même dénominateur,

, . ^ iSoî i%x 210 20j: ^ .^ „,

deviennent -r. — , ^ — , -^ — , -r. — , et par suite 1 équation

donnée devient

iSo: 1%X , 210 20X

io 3o '^ 3o 3o

ou, en supprimant le dénominateur commun , i5x — i8x-}-2io = 2oj:.

Soit, pour deuxième exemple l'équation 36x c'x j^ c o^x o/yAi • "Sa ^^

4a« 2afr» ^ 66 "■ 36^

Le plus petit multiple des dénominateurs 4^% ^^ctô*, 6fc, 36^ est visiblement I2a*6^ et les quotients que l'on obtient en divisant i2a'6^ successivement par ces dénominateurs sont 36',

Gab, laVy 4^*; multiplions donc les deux termes de chaque fraction par le quotient correspondant et le terme entier par laa'i'j il vient

et, en omettant le dénominateur commun,

gb^x — 6ab€^X'\-2a^yc = ^a^x — i aa'é^ Soit pour dernier exemple Téquation

elle se change d'abord en

2j:^(jr+i) (a: — i) x^(x — i) x -\- i

(^+0 (^-0 "~ (-^+0(^-0 ~ (x+i)(i:-i)' puis en

2X^(:r-j-i)(a: — i) — x^{x—i)=X'\- i; d'où, en effectuant les calculs indiqués,

20?' — 20;^ — ^a:'»-f-ir^ = :r-|- 1 , équation du 7® degré.

2i 5. Si réquation donnée ne renferme qu'un seul dénominateur, il est plus simple de multiplier ses deux membres par ce dénominateur. Ainsi, pour chasser le dénominateur de Téquation

i=2ar + 5, on multiplie tous ses termes par 7, ce qui

donne x — 7= i4a;-]-35.