ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE

216. Avant d'exposer la méthode générale pour résoudre les équations du premier degré à une seule inconnue, nous allons faire connaître quelques procédés très simples qui reviennent souvent dans les applications.

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I. Règles pour dégager l'inconnue dans wne équation du premier degré.

2i 7. L'inconnue peut, dans une équation du premier degré, être engagée y avec les quantités connues, de quatre manières différentes : 1 ® par addition ; 2® par soustraction ; 3® par multiplication ; 4*^ par division. Les procédés que l'on emploie^pour la dégager, reposent sur cet axiome : on peut^ sans troubler une équation^ effectuer les mêmes opérations sur les deux membres. Cela posé,

i^ Soit réquation x-f-3= 12, dans laquelle Tinconnue x est engagée avec le nombre 3 par voie d'addition ; retranchons 3 de chacun des membres, nous aurons a?-(-3 — 3== 12 — 3 ou ^ = 9, en remarquant que 3 — 3 = o et que 12 — 3 = 9. Donc lorsque l'inconnue est engagée par addition, on la dégage par soustraction. '

2° Soit réquation x — 3= 12, dans laquelle l'inconnue x est engagée avec le nombre 3 par voie de soustraction ; ajoutons 3 à chaque membre, il vient x — 3+3—12+3 ou, en réduisant, j:= i5. Donc lorsque l'inconnue est engagée par soustraction, on la dégage par addition.

3^ Soit l'équation 3a7= 12, dans laquelle l'inconnue x est engagée avec le nombre 3 par voie de multiplication; divisant les deux membres par 3, on obtient |j:= '-fou x=^, en observant que 1 = 1. Donc lorsque l'inconnue est engagée par multiplication, on la dégage par division.

4® Soit l'équation rr =12, dans laquelle l'inconnue x est engagée avec le nombre 3 par voie de division ; multipliant les deux membres par 3, on trouve f x='i6 ou a;=36. Donc lorsque l'inconnue est engagée par division, on la dégage par multiplication.

En répétant les mêmes raisonnements sur les quatre équations

ar+i = a, X — b=a, bx = a, r =a, on en tire

x = a — bf a? = a+ 6, .07= T , x=ab.

d'algèbre. 401

On peut conclure de tout ce qui précède que lorsque lançonnue est engagée par voie d'une opération quelconque^ on la dégage par V opération contraire.

21 8. Si l'inconnue est engagée par plusieurs opérations à la fois, on la dégage successivement par les opérations opposées. Soit, pour exemple, Téquation

où l'inconnue x est liée aux nombres 4i 5, 2, 3, par addition^ soustraction, multiplication et division ; on en déduit

1^ en retranchant 4 des deux membres, —5 5 =7;

2^ en y ajoutant 5, -^ =12;

3** en les divisant par 2, -5- =6;

4** en les multipliant par 3, a:=i8.

Pour vérifier, remplaçons x par 18 dans Téquation donnée; elle devient

4 i — 5 5=11 ou 1 1 = 1 1 .

IL Résolution des équations du premier degré à une seule

inconnue.

219. Pour résoudre une équation du premier degré à une seule inconnue , on lui fait subir successivement les quatre transformations suivantes :

1'« transformation. On fait disparaître tous les dénomina-leurs de V équation {214);

2* transformation. On transpose dans le premier membre tous les termes affectés de l'inconnue, et dans le second tous les termes connus (211);

3* transformation. On effectue la réduction des termes sewn hlables dans les deux membres (3i), et, si V équation est littérale, on met l'inconnue en facteur dans le premier (48) ;

4® transformation. On dégage IHnconnue de son coefficient par la division (217).

Pour vérifier si la valeur trouvée pour Tinconnue satisfait à réquation donnée, il faut voir si ses deux membres deviennent identiquement égaux , lorsqu'on substitue cette, valeur à la lettre qui représente l'inconnue.

Soit proposé de résoudre Téquation numérique

faisant subir à cette équation les quatre transformations énoncées ci-dessus, on trouve

1 ^° trans. 6ar — 4^ + 6 = 3o — Zx\ 2® trans, Ç>x — 4^-|-3a? = 3o — 6; 3® trans. 5a? =24; 4® trans, a? = ^oua? = 45« Substituant, pour faire la vérification, V* ^ ^ ^^^^ Féquation donnée, il vient

Soit encore proposé de résoudre Téquation littérale

bc cfx d de

on en tire

1 ""^ trans, dex — ade = bce -{-cfx; 2® trans, dex — cfx = ade'\-bce; 3** trans, [de — cf)x=[ad-{'bc)e] (a)

£« -. (ad4-bc)e

4« trans, x ^ ^ . ' — 7—.

de — cf

220. Les équations (a) sont évidemment des conséquences immédiates de réquation donnée; pour exprimer cette circonstance, on dit qu*elles rentrent dans celle-ci.

En général, deux équations rentrent Vune dans Fautre, lorsque, par quelques transformations, elles peuvent se déduire Tune de Tautre.

D*ALGÈBRB. 103

m. Résolution de plusieurs problèmes dont les données sont

numériques.

221 . Problème. On demandait à Pythagore combien de disciples fréquentaient son école. Il fit cette réponse ambiguë : Une moitié étudient l'arithmétique, un tiers la géométrie, un septième la physique et il y a de plus une femme. Combien Pythagore avait-il de disciples ?

Celte question revient visiblement à celle-ci : trouver un nombre dont la moitié, le tiers, le septième, augmentés de l'unité, donnent pour somme ce même nombre.

Représentons par x le nombre cherché; la moitié, le tiers, le septième de ce nombre, sont exprimés respectivement par

-i o> -î et, en vertu de 1 énonce, on a

si Ton fait subir à cette équation les quatre transformations du n** 219, on obtient

1" trans. 2 ix-f-i 4^^+6^+4^=42^ î 3® tr. — a?= — 4^; 2* trans. iix-^i^x-^&x — ^ix^= — ^i\ it"" trans. x^=:^^^.

Pythagore avait donc 42 disciples. Pour vérifier, remplaçons X par 4^ dans l'équation initiale; nous aurons

Afin d'abréger, nous nous dispenserons désormais de faire la vérification.

222. Problème. Vne personne change des pièces de 2 fr. contre des pièces de 5 fr. et se trouve avoir, après cet échange, 102 pièces de moins : quelle somme possède-t-elle?

Soit X cette somme exprimée en francs; elle renferme — pièces de 2 fr. et -r- pièces de 5 fr. ; or, la différence entre ces

deux nombres de pièces est loa; donc

équation qui fournit ^

\^^ trans. Sx — 2X= 1020; 3® trans, 3jr=io2o;

2® trans. Elle est effectuée; 4® trans^ a?=S4o; Cette personne a donc i^o fr.

223. Problème. Quel âge avons-nous l'un et l'autre? demande un fils à son père. Le père répond : Votre âge est actuellement le tiers du, mien, et il y a six ans qu'il en était le quart \ déterminer l'âge de chacun.

Soit X rage actuel du fils; celui du père est 3a?; il y a six ans,

le fils avait x — 6 ans et le père 3a; — 6; mais à cette époque Fâge

du fils était le quart de celui du père; donc

d'où

1 '• trans. ^x — 24 == 3a? — 6 ; 2® et 3® trans. x= 1 8. Le fils a donc 18 ans et le père 3 . 18 ow 54 ans.

224. Problème. Une personne charitable rencontre des pauvres, et veut donner à chacun 4 fr- ; i^ctis elle trouve, après avoir compté son argent, qu'il lui faudrait 5 fr. de plus; elle donne alors 3 fr. à chaque pauvre et il lui reste 2 fr. : on demande combien il y avait de pauvres et combien cette personne possédait.

On peut prendre pour inconnue le nombre des pauvres ou celui des francs.

\^ Soitar le nombre des pauvres; si chacun recevait 4 fr., les X pauvres recevraient 4a: fr. ; mais il manque 5 fr. pour que cette distribution soit possible : donc le nombre des francs est exprimé par 4^ — 5. Actuellement, chaque pauvre recevant 3 fr., les a? pauvres reçoivent 3a? fr., et, à raison de ce qu'il reste 2 fr., le nombre des francs est aussi exprimé par 3j:-f 2; égalant les expressions ^x — 5, 3a?4-^ qui désignent une même quantité, il vient

4a? — 5 =.3ar-|-2,

équation d'où Ton tire ^^ trans. Elle est effect. 2* tr. ^x — Sa: =5 +2; 3« ^r. a?= 7.

Il y avait donc 7 pauvres^ et cette personne possédait 23 /r., puisque ^x — 5 = 4-7 — 5 = 2'3.

2® Soit y le nombre des francs; si cette personne avait 5 fr. de plus ou (y+5) fr., elle pourrait donner 4 fr. à chaque pauvre :

T + 5 donc le nombre de pauvres est . ; si elle avait 2 fr. de

moins ou [y — 2) fr., il ne lui resterait rien après avoir donné 3 fr. à chacun d'eux : donc le même nombre est aussi représenté

par 2— ; de là résulte l'équation