on en déduit
4'* trans. 3y-(-ï5 = 4y — 8; 3® trans, — y= — 23;
2® trans. 3y — 4y=~'i5~~8; 4® frarw. y = 23.
On trouve donc, comme précédemment, que cette personne possédait 23 fr. et qu'il y avait 7 pauvres^ car
225. Problème. Un avare range ses écus par piles de 1 1 écus et il lui en reste i ; il forme alors des piles de i3 écus et il lui en reste 9, mais il a deux piles de moins : combien a-t-il d'écus?
Soit X le nombre des écus de l'avare; exprime le nombre des piles de 1 1 écus, et — ^ celui des piles de i3 écus; or, le premier nombre doit surpasser le second de 2 : donc
II i3 ^^'
équation qui fournit
l""* trans. i3ip— i3= iia? — 99-I-286; 3" trans. 2a;==2oo; 2* trans. l'ix — iij7=i3 — 99-1-286; 4* trans. a? = ioo. U avare a donc 100 écus.
226. Problème. Un particulier a 354 /^- dont il retire 20 fr. d'intérêt y en faisant valoir une partie au 5 pour cent et l'autre au 7 : quelles sont ces deux parties?
Soit X la première partie; l'autre est 354 — a? ; l®s sommes a?
et 354 — X renferment — et — centaines de francs, et
conséquemment, placées au 5 et au 7 pour cent, elles rapportent
annuellement l'une — — et l'autre -^ — ; en ajoutant les
intérêts de ces deux sommes, on doit visiblement retrouver l'intérêt total : donc
Sx , 7(354 — ^)
équation d'où l'on tire
i^^ trans. 5X+2478 — 7x=2ooo; 3* trans. — 20?= — 47^»
2® trwns.Sx — 7^=2000 — 2478; 4** rran^. ar = 239.
Ainsi, la première partie est 239 fr, et Vautre 354 — ^39 ou
ni fr.
227. Problème. On donne à un ouvrier i fr. yS c. par jour lorsqu'il travaille ; mais, chaque jour qu'il se repose, on lui retient o fr. 80 c. pour sa nourriture. Au bout de 27 jours, il reçoit 3 1 fr. 96 pour solde de son compte. On demande le nombre de jours de travail et le nombre de jours de repos.
Si l'on désigne par x le nombre de jours de travail, le nombre de jours de repos sera 27— a?; l'ouvrier aura gagné 1,75.0; fr. sur lesquels on doit lui retenir pour sa nourriture 0,80.(27 — ^) fr- î égalant donc la différence de ces deux expressions à la somme 3i fr. 95 qu'il reçoit, il vient
i,75.:r — 0,80. (27 — a:)=3i ,95; et, en multipliant par 100 pour faire disparaître les fractions décimales,
175:^—80(27— 0?) =ii 3195 ou 175^ — 2i6o-|-8oj:=3i95. Résolvant cette équation :
i" trans. Elle est effectuée; 3* tr. 255aî= 5355 ;
2* trans. i75a?-f-8oa7=2i6o-|-3i95; i^ trans. x^smi.
L'ouvrier a donc travaillé pendant 2 1 jours et s'est reposé pendant 27 — 21 ou 6 jours,
228. Problème. La somme des deux chiffres d'un nombre est 12; etj en y ajoutant 18, on obtient pour somme un nombre composé des mêmes chiffres, mais dans un ordre renversé. Quel est ce nombre?
Soit X le chiffre des unités; celui des dizaines est 12 — x, et ce nombre vaut 10(12 — xj-^x-, si Ton y ajoute 18, la somme 10(12 — ^a:)-|-a?-j-i8 doit être composée de x dizaines et de 12 — x unités, et par conséquent doit égaler ioa?-|-i2 — x\ donc
120 — iox-\-X'\-i^ =. io:r-j- 12 — x\ d'où
4'® trans. Elle est effectuée. 3* trans, — i8a:= — 126;
2* tr. — iOj:-(-a;— ioa:-)-x= 12 — 120 — 18; 4® tr, a: = 7.
Le chiffre des unités étant 7, celui des dizaines est 12—7 ou 5; le nombre demandé est donc 67.
229. Problème. Un général veut disposer un régiment corn-posé de 1164 hommes en bataillon carré à centre vide, de manière qu'il y ait trois rangs sur chaque côté : combien doit-dl mettre d'hommes à chaque rang?
Soit X ce nombre; si le bataillon carré était à centre plein, il se composerait de x"" hommes ; mais puisqu*il n'y a que 3 rangs sur chaque côté, il faut en retrancher {x — 6)\ expression qui représente un bataillon carré à centre plein, sur le côté duquel il y aurait a? — 6 hommes ; Téquation du problème sera donc
a.'(aj 6)' = ii64; et, en développant le carré de x — 6(100),
a?' — a?*+ï2a?--r36= 1164 ^^ i^a? — 36= ii64; équation du premier degré, d'où l'on tire a? = 100; ce général doit donc mettre 100 hommes à chaque rang.
230. Problème. Achille va dix fois plus vite qu'une tordue qui a une lieue d'avance sur lui: à quelle distance la rencontrer a-t'il?
Soit x le nombre de lieues qu'Achille doit parcourir pour atteindre la tortue; cette dernière aura fait alors x — i lieues et l'on aura l'équation
j:= io(a; — 1) ou a? = lox — 10;
d'où Ton déduit x= ^ de lieue ou a?=i^^. Achille atteindra donc la tortue après avoir fait 1^7.
Ce problème, dont renoncé est au moins ridicule, était fameux dans le temps où les philosophes grecs se plaisaient à revêtir des apparences de la vérité les assertions les plus absurdes. Voici le sophisme qu'employait Zenon à son égard : « Lorsqu'Achille aura parcouru la première lieue, la tortue aura fait un dixième de la lieue suivante : lorsqu'Achille aura parcouru ce dixième, la tortue aura fait le centième suivant; et ainsi de suite : donc Achille n'atteindra jamais la tortue. »
Ce raisonnement conduit évidemment à une conclusion fausse; mais où pèche-t-il ? C'est ce que Zenon demandait.
Remarquons qu'Achille, avant de rencontrer la tortue, parcourra un espace exprimé par la série indéfinie de termes 1+75 + 7— + r5Tïï + ®^c-'» c^* espace au premier coup d'œil paraît infini et c'est ce qui rend le raisonnement qui précède assez spécieux ; mais il en est autrement, car cette série égale visiblement 1,1 mil etc., fraction décimale périodique dont la valeur est I 7. Nous retombons donc ainsi sur la solution d'abord obtenue.
lY. Résolution de plusieurs problèmes dont les données sont
algébriques,
231 . Problème. Partager un nombre en parties proportionnelles à deu>x ou à trois nombres donnés.
i"* Soit à partager le nombre a en parties proportionnelles aux deux nombres m et n; désignant la première partie par x^ l'autre sera a — x, et l'on aura la proportion
X : a — X :: m : n, d'où, en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens,
nx=zm[a — x) ou nx:=ma — mx; équation^ qui fournit
V* trans. Elle est effectuée. 3« trans. (m-|-n)a; = ma;
ma
2® trans. mx'^nx = ma; i^ trans. xr:^
La 2® partie w-x^-a-
D*AL6ÈBRB. 409
ma na
Pour faire une application de ces formules (6), posons a= i4, m = 4» ^=3 et substituons; elles donnent
1 '* partie = ^^ = 8, 2« partie = |^ = 6.
2® Soit à partager le nombre a en trois parties proportionnelles
aux nombres m, n, p. Représentons la i ""^ partie par a;, la 2*" et
la 3* se détermineront au moyen des proportions
