X : 2® partie :: m : n, x : 3* partie :: m : p
d'où Ton déduit
2* partie = — , 3® partie= ^-~ ;
or, la somme des trois parties x , — , ^-- doit reproduire le
nombre a; donc
. nx , px mm équation d'où l'on tire successivement 4 " trans. ma?+na?+pa7 = ma ; 3" tr. (m+n+p)a?= ma ;
ma
2* rran*. Elle est effectuée; 4® ^r. ir= — j — .
T r.^ . nx n ma na
La 2* partie — = — . — ; ; — r=z — | ; — .
'^ mm m+n+jt? m + n+p
La 3- partie ^ = ^. -^^ = J\ .
^ mm m+n+jo m + w + j»
Supposant a =-.3o, m=i, n==2, j9 = 3 et substituant, on trouve
r* partie = 5, 2® jpartfe = lo, 3® partie = i5.
232. Problème. Insérer entre les deux nombres a et b t^n troisième nombre tel que ses différences aux deux premiers soient entre elles comme a : b.
Soit X le nombre cherché et a le plus grand des deux nombres
donnés; a—x exprime la différence entre les nombres a et x, et 00 — 6 la différence entre x et b. Donc
a — X : X — b :: a : b, d'où a^ — ab-^ab — bx; résolvons cette équation :
2« et 3« trans. {a4'b)x = 2ab; 4« trans, 0?= -^^
Posons a = 7 et 6 = 4, cette formule donne x= ^'^'4 ou
233. Problème. Z)e çwe//e quantité faut-il augmenter les quatre nombres a, b, c, d, pour que les quatre sommes soient en proportion géométrique ?
Soit X cette quantité, nous aurons
a + x : b-\-x :: c-^-x : d-\-x, d'où, en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens,
{a+œ)[d+x) = {b-\^œ)(c+x); effectuant les produits indiqués et supprimant le terme a* dans les deux membres, il vient
ax-j^dx-\-ad'=bx'^cx-{' bc; équation qui donne
r^ tr. Elle est effectuée; 3^ tr. (a+d— i— c)a;=ic ad;
2« tr. ax^dx-bx—cx^bc—ad', 4« tr. x= — ^ElZ^
a+rf — 6 — c' Supposant a = 12, 6 = 9, c = 2, d=i et substituant, on trouve x=i.
La proportion
12 + 3 : 9+3 :: 2+3 : 1+3 ou i5 : 12 :: 5 : 4 est effectivement exacte, puisque 1 5x 4 = 1 2 X 5.
234. Problème. Partager un nombre donné a en deux parties telles que la différence de leurs carrés soit un nombre donné h.
La première partie étant x, Tautre sera visiblement a — ^, et en vertu de renoncé, on aura
a?' — (a — f)'=6 ou bien x^ — à'-j-aux — a?' = 6;
D*AL6ÊBRE. 1 4 1
équation d'où Ton tire, en observant que x*^—x^ = o,
a' + b ^ a'—b xzzz. — ! — et a — ar= ;
le problème n'est soluble que dans le cas de 6 < a' ; car si l'on avait b > a', la deuxième partie serait négative et la première
plus grande que — — — ou a, ce qui est absurde.
235. Problème, a kilogrammes d'eau salée contiennent b kilogrammes de sel : combien faut-il j" ajouter d'eau douce, pour que, sur c kilogrammes du mélange, il gr ait d kilogrammes de sel?
Soit X ce poids d'eau douce ; le nouveau mélange se composant de {a~\'x) kil. sur lesquels il y a 6 kil. de sel, contient évidemment ■ de sel par kilogramme ; c kil. de ce mélange renée ferment donc — i — de sel, d'où résulte l'équation a-f-x ^
^ '® trans. ad 4- dx = bc; 2® et 4® trans x = — -= — .
Si ad > bc, la valeur de x est négative et par suite le problème insoluble', posant a=io, 6=3, ^=7, d=i,5, on trouve a; = 4 kil.
236. Problème. Un jardinier avait planté des arbres à tous les sommets d'un polynôme régulier dont le contour est de a mètres ; mécontent de cette disposition, il les arrache et les replante à égale distance les uns des autres, sur une ligne droite dont les extrémités sont distantes de b mètres : on de-mande combien il y avait d'arbres, sachant que l'intervalle qui sépare deux arbres consécutifs est le même dans les deux dispositions.
Soit X ce nombre d'arbres ; puisque le contour du polynôme régulier est de a met., la longueur de chaque côté et par conséquent
la distance de deux arbres consécutifs égale — ; maintenant lors-
gue les arbres sont plantés sur une ligne droite de b met. de lon-
gueur, il n'y a plus que x — i intervalles et chacun d'eux égale
b — — — ; mais la distance qui sépare deux arbres consécutifs est,
d'après l'énoncé , la même dans les deux dispositions : donc
équation qui fournit :
\ '• trans. ax — a^=bx] 3® trans. [a — b)x^=a;
2* trans. ax — ix = a ; 4® trans. x =
a — b' Posant a= 100 et 6 = 98, on trouve a; = 5o arbres.
237. Problème. Un chasseur promet à un autre de lui donner a fr. toutes les fois qu'il manquera une pièce de gibier^ et cet autre s'engage à son tour à lui payer h fr. quand il l'atteindra ; après c coups, ils ne se doivent rien : combien y a-t'il eu de coups justes et de coups manques ?
Soit X le nombre des coups justes, celui des coups manques sera c — x\ lé premier chasseur payera au second a[c — x) fr. et en recevra bx fr. ; mais, d'après l'énoncé, ces deux sommes sont égales : donc
bx:=.a[c — x) ou bx = ac — ax; tirant la valeur de l'inconnue et de c—x, on obtient
ac bc
Posant a = 5, é=3, (;=2o, on trouve que le nombre de coups justes est la^et que 77 est celui des coups manques; un nombre de coups de fusil ne pouvant être fractionnaire, cette circonstance rend le problème insoluble.
238. Problème. Un fantassin se rendant à sa garnison, cal-cule que, sHl fait a lieues par jour, il arrivera b jours après V époque qui lui est fixée ; et que, s'il fait c lieues par jour^ il arrivera d jours trop tôt : combien doit-il faire de lieues pour arriver à sa destination.
Soit X ce nombre de lieues ; si le fantassin fait a lieues par
d^lgèbre. 4 1 3
jour, il lui faut — jours pour faire sa route; mais, de ce qu'alors
il est en retard de b jours, il suit que b est l'expression
algébrique du nombre de jours qu'on lui a ac<;ordé; on trouverait par un raisonnement semblable que ce nombre de jours peut
aussi être représenté par |-d; de là résulte
équation qui , étant résolue, donne x = — \-^ — ; on en dé-
j •* • ' * -^ L ab -\-cd
duit aisément 6 = .
239. Problème. Trois fontaines remplissent : la première^ un bassin de a litres en 1 heures ; la deuxième un bassin de b litres en m heures', la troisième, un bassin de c litres en n heures. En combien d^heures ces trois fontaines, coulant ensemble, rempliront-elles un bassin de d litres?
Puisque les trois fontaines remplissent des bassins de a, b, c litres en /, m, n heures, elles fournissent respectivement en une
heure -r- , — , — litres. Cela posé, désignons par x le nombre
d'heures cherché; dans ce temps, les trois fontaines verseront
dans le quatrième bassin — ^ , — , litres, et comme alors
il doit être rempli, nous aurons
ax . bx , ex ,
équation d'où Ton tire
Imnd
mna-\'lnb-{'lmc Si les quatre bassins sont d'égale capacité, auquel cas a=:^b^=^c=^d, cette formule devient
Imna Imn
X = ' ri n — ou a? =
mna 4- ^^^ -f- ^wa mn -f-/w -|- Im
m PRlNGlt>ÉS
Si Ton suppose / = w=n, cette même formule se change en celle-ci
Pd Id
ou x=
Si Ton fait en même temps les deux suppositions précédentes,
on a
Pa l
ou a; = -TT- .
Enfin, s'il'n^y avait que deux fontaines, il suffirait de supposer, dans la formule générale de ce problème , c = o ; ce qui donnerait
Imnd Imd
ou :r ==; — »-
mna -^ Inb ma+lb
240. Problème. Un réservoir contenant a litres^ peut se remplir en b heures, en ouvrant le robinet d'une fontaine, et se vider totalement en c heures, en levant une soupape. Ce réservoir renferme A litres à l'instant où l'on ouvre le robinet et la soupape. Dans combien d'heures contiendrat'il e litres? [On suppose que les écoulements sont uniformes.)
Représentons par x ce nombre d'heures ; dans ce temps , la
fontaine verse -r- ^ litres dans le réservoir, et il s'en écoule — x
par la soupape ; on a donc Téquatiou d'où l'on tire
^ bc(e — d) a{c — b) Le problème n'est soluble que dans le cas de x positif, c'est-àdire lorsque e>d et ob, ou bien lorsque e<d eic<b. Si ds=o et e=a, la formule devient
bca bc
ou a; :
cette expression donne le nombre d'heures après lesquelles le réservoir se trouve rempli , dans la supposition où il est vide, et où le robinet et la soupape sont ouverts en même temps.
D*ÂLGÈBRB. 115
