f-25 — 3z = 10, d'où z

Nous ferons ici une remarque importante : si l'on élimine z entre la deuxième et la troisième des équations (c), on obtient

équation qui, au premier coup d'œil, paraît former un système impossible (257) avec les équations (d) et (e); en réfléchissant, on conçoit aisément que, d'après la formation des équations (d), (e) et (f), l'une d'elles doit être une conséquence des deux autres. En ajoutant les deux premières, après les avoir multipliées par 2 et par 5, on retombe effectivement sur la troisième.

260. En général, pour résoudre m équations du premier degré à m inconnues, on élimine successivement la même inconnue entre l'une des équations données et les m — 1 autres ; de là résultent m — i équations du premier degré dm— 1 inconnues;

d'algèbre. 1 S3

éliminant une nouvelle inconnue entre Vune de ces dernières équations y et les m — 2 autres, on obtient m — 2 équations à m — .2 inconnues; et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on parvienne à une équation qui ne renferme plus qu'une inconnue. Tirant alors la valeur de cette dernière, on la substitue dans l'une des deux équations qui n'ont que deux inconnues, et l'on obtient la valeur d'une deuxième inconnue. Substituant de nouveau les valeurs des deux inconnues déterminées, dans l'une des trois équations qui renferment trois inconnues, on trouve la valeur d'une troisième inconnue et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ait déterminé les m inconnues.

Soient, pour exemple, les quatre équations ix-^ny — z — u^=o,

x-^-Sy — 7Z + w = 2o, ^^^

X — iy — 5z — u = 6; éliminant d*abord u entre la première et les trois autres, on trouve, en faisant usage du troisième procédé ,

iia:-|-5y — 2Z = i5,

2a: + 5j--f 4z=— 6; éliminant actuellement z entre la première de ces nouvelles équations et les deux autres, il vient (256)

4ox+iiy=4o, ^.

éliminant enfin y entre ces deux dernières, on obtient

2880?== 288, d'où a?=i ; substituant a: =1 dans Tutie des équations (i), on trouve i/ = o ; substituant x=i, y~o dans l'une des équations (h), on trouve z=— 2 ; substituant enfin a?=i,y = o, ;: = — 2, dans Tune des équations (g), on trouve îi=5.

261 . Lorsque quelques-unes des équations données ne renferment pas à la fois toutes les inconnues, ou bien lorsqu'il existe entre les coefficients de ces dernières des rapports simples, l'élimination peut se faire quelquefois plus rapidement; les procédés particuliers que Ton emploie alors varient d'après la nature des

équations, et ne peuvent s'acquérir que ps^r Thabitude. Voici un exemple qui réunit ces deux cas.

Soient à résoudre les quatre équations

on obtient, en ajoutant les trois premières,

ou bien, en remplaçant ^4"^^ + ^ P^^ ^»

6x-\-2d = a-\-b'f-c, dou x= ■ ^ .

Au moyen de trois opérations tout-à-fait semblables , on trouve