III. Résolution de plusieurs problèmes dont les données sont
numériques.
262. Problème. Un particulier qui n'a que des pièces de 5 /r. et de 2 fr. veut payer 53 fr. en 16 pièces. Combien doit-il donner de pièces de 5 fr. et de pièces de 2 fr. ?
Soit X le nombre des pièces de 5 fr.- et y celui des pièces de 2 fr. ; l'énoncé fournit immédiatement
a7-|-y==:i6, 5iF -j- 2jr = 53 ;
de la première équation, on tire y = 16 — x\ et, en substituant cette valeur de y dans la seconde, on trouve
5a?-j-2(i6 — a:) = 53 OU 5a?-|-32 — 2j:=53, d'où l'on déduit aisément x = y; portant ce résultat dans l'expression y= 16 — X, on a i/=9.
^Ce particulier doit donc donner 7 pièces de 5 fr. et 9 pièces de 2 francs.
263. Problème. Deux frères dissipent , l'un les — de son bien,
et Vautre les -r du sien. La différence de leurs dépenses est 237 fr.
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et la somme de ce qui leur reste est 2220 fr. Quels étaient leurs biens^
Représentons par x eXy les biens cherchés ; — ^1 -r- 2/ èxpri-
ment les dépenses des deux frères, et par conséquent — j?, r- 2/
7 5 expriment ce qui leur reste; nous aurons donc
et, en chassant les dénominateurs,
1 5x — i4î/ = 8295, 2oaî -|- 2 ly = 77700.
Ajoutant d'abord ces équations, après avoir multiplié (256) la première par 3 et la seconde par 2, il vient
85j:=i8o285, d'où j:= 2121.
Retranchons maintenant la première de la seconde (256), après les avoir multipliées respectivement par 4 et par 3, nous aurons 1192/= 199920, d'où y = 1680.
Le bien du premier était donc 212 1 /r., et celui du second 1680 fr.
264. Problème. Plusieurs personnes jouent ensemble et conviennent que Venjeu sera i fr. ; le jeu étant terminé, deux joueurs se retirent, l'un avec un gain de ig fr., et l'autre avec une perte de 1 fr. ; le premier se rappelle d'avoir gagné 10 parties, et le second 2. Combien y avait-il de joueurs et corn-bien ont-ils joué de parties ?
Soit X le nombre des joueurs et y celui des parties jouées ; il est clair que chaque joueur débourse autant de francs que Ton joue de parties, c'est-à-dire y fr., et que celui qui gagne une partie en retire autant de francs qu'il y a de joueurs ou x fr. Cela posé, le gain du joueur qui gagne 10 parties est représenté par loa? — y, et y — 2x- désigne la perte de celui qui n'en a gagné que deux. On a par conséquent
loor — y = 39, y— 20:= I ; équations d'où l'on déduit (253)
J/=iox — 39, 2/ = 2a:+i,
et par suite
loa? — 39 = 2:r-|- i» d*OÙ x = 5. Substituant a?r= 5 dans y = ^a:-\-'i,on trouve y = ii / // y avait donc 5 joueurs, et ils ont fait 1 1 parties. Les valeurs a? = 5 ety=ii vérifient les équations du problème sans satisfaire à son énoncé; en effet, puisque le premier joueur a gagné 10 parties et le second 2, le nombre des parties jouées ne peut être plus petit que 12, et ne peut conséquemment égaler 11. Ce problème est donc insoluble.
Si l'on résout le même problènie, en remplaçant les données 39, I, 10, 2, par celles-ci 43, 0,7, 3, il devient soluble, et Ton trouve a? = 1 2, y = 4^ •
265. Problème. Un marchand vend: 1° 16 bouteilles de vin de Champagne, 7 de vin de Bourgogne et 10 de vin d\irbois pour 80 fr. ; 2^ 8 bouteilles de vin de Champagne, 9 de vin de Bourgogne et 5 de vin dArbois pour 5i /r.; 3** 6 bouteilles de vin de Champagne, 3 de vin de Bourgogne et 2 de vin d'Arbois pour 29 fr. Combien coûte une bouteille de chaque espèce de vin ?
Soient x, y et z les prix respectifs d'une bouteille de vin de Champagne, de vin de Bourgogne et de vin d'Arbois ; nous formerons immédiatement les trois équations suivantes i6x~[- yy'\-ioz=So, 8a? + 9J/4-5z = 5i , ^
Pour éliminer z, il suffit de retrancher successivement les deux dernières de la première, après les avoir multipliées par 2 et par 5, ce qui donne
— iij-== — 22, — i/^x — 8j*= — 65;
Tune de celles-ci fournit y = 2, et, en substituant dans Tautre, on trouve a? = 3, 5o. Portant ces valeurs de a? et de j* dans Tune des équations initiales, on en déduit z= i.
Ainsi, la bouteille devin de Champagne coûte 3 fr, 5o ; celle de vin de Bourgogne, 2 fr, ; et celle de vin d'Arbois, i fr.
266. Problème. Le gouverneur d'une place assiégée se trouve à la tête de trois détachements : l'un de grenadiers, l'autre de
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voltigeurs et le troisième de fusiliers. H veut faire une sortie avec un seul détachement, et, pour encourager sa troupe, il promet une récompense de2yoifr.y qui sera distribuée sur // pied suivant : chaque homme du détachement qui donnera, recevra 3 fr, , et ce qui restera de cette somme sera également partagé entre les hommes des deux autres détachements ; or, il arrive que, suivant que les grenadiers, les voltigeurs ou les fusiliers sortent de la place, les soldats des deux autres détachements reçoivent i fr., i fr, 5o ou o fr. y5. De combien d'hommes chaque détachement était-il composé?
Si Ton représente par x le nombre des grenadiers, par j^ celui des voltigeurs, et enfin par z celui des fusiliers, les trois conditions du problème, écrites algébriquement, fournissent immédiatement les équations
3a;-]-jr-|~Z = 27o3,
3j*+ 1,^0, x-\- i,So.z = 'iyo'i,
3z -f- Oj 76 . a? -f- o^ 7^ .y = 2703.
Multiplions la seconde par -5- et la troisième par -~- , afin de
chasser les fractions décimales et de simplifier ; ce système d'équations devient
'ix-{-j'-\-z = iiyod,
4^ + ^+^=3604; éliminant successivement z entre la première et les deux autres, il vient
23? — ^^^=901, ii:c+3j-=72o8;
éliminant y entre ces nouvelle^ équations, on trouve
1707 = 9911, d'oii 07 = 583,
et, substituant cette valeur dans Tune d'elles, j'=:265. Portant enfin x= 583, j^= 265 dans l'une des équations (j), on en conclut z = 689.
. Ilj^ avait donc 583 grenadiers, 265 voltigeurs, et 689 fusiliers.
