IV. Résolution de plusieurs problèmes dont les données sont

algébriques.

267. Problème. Un oncle lègue son bien à l'un de ses amis , à condition qu'il donnera a fr. à chacun de ses neveux, et b fr. à chacune de ses nièces ; le légataire^ pour remplir la volonté du testateur^ paie c /r.; si l'oncle avait exigé qu'il donnât b/r. à chacun de ses neveux: et a fr. à chacune de ses nièces^ le légataire aurait pajré d fr. Combien cet oncle avait-il de neveux et de nièces ?

Désignons par x le nombre des neveux et par j- celui des nièces ; les deux conditions du problème fournissent tout de suite

ax-\-bx = c, bx-\- ajr = d\ (k) ajoutant ces équations, 1° après avoir multiplié la première par a et la seconde par — b\ 2° après avoir multiplié la première par — b et la seconde par a ; on trouve

(a* — 6*) x=zac — bd, (a' — b^)y = ad — bc\ équations d*oii l*on tire

ac — bd ad — bc

^- a^ — b' * ^-^nTET'

Ces formules peuvent se mettre sous une forme très élégante ; pour y parvenir, ajoutons et retranchons les équations (k) membre à membre, il vient

{a-\-b) a:-[-(a-j-*)j = ^ + rf» {a—b)x—[a — b)x=c — d\

et, en divisant la première par a-^-b et la seconde par a — 6,

, cA-d c — d

or, connaissant la somme et la différence de deux quantités (5), la plus grande s'obtient en ajoutant la demi-somme à la demi-différence, et loi plus petite en soustrayant la demi-différence de la dtmi'Somme : donc

1 cA-d , I c — d I c4-d i c — d

2 a-|-A "^ 2 a — A 2 a-\-b 2 a — b' ^+T>-''^ — J'f^jJ' étant essentiellement des nombres entiers,

il faut, pour que le problème soit soluble, que — -pr- , — , -

soient des nombres entiers, tous deux pairs ou impairs.

D^ALGÊBRB. 42$

• Posant a = 2oo, A==25o, (?=265o, ^ = 2750 dans ces dernières formules ou dans celles d*abord obtenues, on trouve a;=7, î/ = 5.

268. Problème. Une personne, ayant des jetons dans les deux mains, en fait passer a de la main droite dans la main gauche, et alors il s'en trouve m fois plus dans la dernière que dans la première ; si cette personne eût fait passer b jetons de la main gauche dans la droite, il s'en serait trouve' dans la main droite m fois plus que dans l'autre. Là-dessus, on demande combien il y avait de jetons dans les deux mains.

Soit X le nombre des jetons de la main droite et y celui des jetons de la main gauche. Après le premier passage, il y a x — a jetons dans la première main et y-^a dans la seconde, et Ton a, en vertu de l'énoncé,

m(x — a)^=y + a ou mx — y = a(m-|-i); (1) si le second passage avait lieu, la main droite contiendrait x-^b jetons, et Fautre y-^b, et Ton aurait aussi, d'après Ténoncé,

m{y — b)=X'\'b ou my — x^=:=b{m-\-i); (m) ajoutons deux fois les équations (1) et (m), 1® après avoir multiplié la première par m; 3° après avoir multiplié la seconde par m; il vient

(m* — I ) x= {ma-\-b) (m-f i ) , (m" — i)y = (mb-^a) (m-f- 1 ) ,

d'où, en observant que m' — i==(m+i)(m — i) et en divisant

les deux membres de chaque équation par w -f- 1,

ma4- b mbA-a

et, en efiectuant les divisions,

Le problème ne sera soluble que dans le cas où a -{-6 sera exactement divisible parm — i.

Si Ton suppose a =7, b=-i\, m = 10, on trouve x==9 et y=i3.

269. Problème, p livres d'or, p livres d'argent, p livres d'argent recouvert d'or, pesées dans l'eau, perdent des parties de

leurs poids respectivement égales â a, b^ c livres : de quelles quantités d'or et d'argent sont composées ces p livres d'argent doré?

Soient xQijr ces poids d'or et d'argent; on a d'abord

Maintenant, puisque p livres d'or et p livres d'argent, pesées dans l'eau, y diminuent de a et 6 livres, il est clair qu'une livre

d'or et une livre d'argent y diminueront de — et — livres, et

que par conséquent les x livres d'or et les j- livres d'argent perdront, dans les mêmes circonstances, des parties de leurs poids

ax uv

égales à et -^ livres; de là résulte l'équation

ax bjr , , =(? ou ax-f-br=cp.

La résolution des deux équations précédentes conduit aux formules

C'est à peu près de cette manière qu'Archimède résolut le celibre problème de la couronne de Hiéron, roi de Syracuse,

L'histoire rapporte que ce dernier, ayant donné i8 livres d'or à un ouvrier pour fabriquer une couronne , soupçonna , lorsqu'elle lui fut apportée, qu'elle n'était que d'argent recouvert d'une épaisse feuille d'or; Archimède, pour s'en convaincre sans l'endommager, pesa dans l'eau cette couronne, i8 livres d'or et i8 livres d'argent, et trouva que leurs poids y diminuaient respectivement de I liv. 5 , I liv. et i liv. -. Pour déduire de ces

résultats les quantités d'or et d'argent dont la couronne était composée, il suffît de faire dans les formules précédentes a = i,

i=i-, c=i-, et p=i8; elles donnent a? =6, j-=i2.

Cette couronne était donc composée d'un tiers d*or et de deux tiers d'argent.

270. Problème. Un ouvrier gagne a /V. par jour quand il travaille avec sa femme^ et b fr. quand il travaille avec son

d'algèbris. 131

/ils; quand il se repose ^ sa femme et son fils, en travaillant ensemble^ gagnent <5 /r. par jour : quel est le gain journalier du père, de la femnye et du filst Soient ar, j-, z, ces trois gains; nous aurons évidemment

x+j-==a, x-|-z=é, jr-^-z^c.

L'élimination des inconnues peut se faire ici très rapidement : il suffit pour cela d'ajouter successivement deux des trois équations, et d'en retrancher celle qui reste; on obtient parce procédé

a-4-b — c aA-c — b b4-c — a a:= — ! , jr= — 1 , z= — ^ .

271. Problème. Trois joueurs de force inégale, conviennent que le gagnant recevra des deux autres, savoir : ^ fr., si ce gagnant est le premier joueur , b ft. si c'est le second , c /r. si c'est le troisième. Après d parties, ils sont dans le même cas que sHls entraient au jeu» Quel est le nombre des parties gagnées par chaque joueur ?

Soient x, jr, ;s les nombres de parties gagnées par le premier, deuxième et troisième joueur; avec un peu d'attention, on établit, au moyen des conditions du problème, les quatre équations

2ar — bjr — cjar=o, . .

2bjr — ax — c5r = o, ^ 2CZ — ax — bj" = o ; la dernière n'est qu'une conséquence des deux précédentes , comme on peut s'en assurer en les ajoutant; il n'y a donc réellement que trois équations.

Retranchons successivement la troisième et la quatrième de la deuxième, il vient

iax — 3*7* = 0, iax — icz = o,

ou bien

ax — bx = o, ax — cz = o;

équations d'où l'on tire j^= t ^ et z = - a?, et, en substituant

dans la première des équations (n) , on trouve

+ a .a . j» - l>cd

b ' c a6 + ac + 6<?

on en déduit aisément

acd dbd

ab-^-ac-^-bc ' ab-\-aC'\-bc'