Si c = o, c'=o, et si en même temps ab' — ba'=o, les

valeurs des inconnues sont de la forme — . Ce cas d'indétermi-

nation mérite d'être distingué, à raison de ce que l'on peut y

déterminer le rapport des inconnues. En effet, des équations

aaî+ir=o, a'a?+6'^ = o, on tire — = , — == r-;

ces deux valeurs de — sont identiques, en vertu de la relation

aV — W=o, d'où l'on déduit — 7- = — .

312. Problème. Former deux équations du premier degré qui aient pour solution commune x==^x', y^=^y . Soient

aa7+ ijr= c, dx -}- b'jr=c\ (f )

les équations cherchées; a, b, c, a\ b\ c\ sont six nombres qu'il s'agit de déterminer. Ces équations étant résolues par ar= x\ y^=:j\ donneront

aa;'+6r'=c, fjix'^yy=c\ (g)

et il n'y aura que deux équations pour la détermination des six inconnues ; la question est donc indéterminée, et il existe une infinité de couples d* équations susceptibles d'une solution donnée.

Égalons les valeurs de c et de c^ dans les équations (f ) et (g) ; nous obtiendrons

ax-{-bjr=ax'-\-br\ a'x-\-b'j=a'x'+by, (h)

équations qui sont vérifiées par x=^x\ j-^y, quelles que soient les valeurs assignées aux quatre coefficients a, 6, a', b'. Cependant il est essentiel que ces valeurs ne remplissent pas la condition

ab' — ba'=o, sans quoi Ton aurait a; = — , j*= — .

i 58 I^RINGIPES

Soit â former deux équations ayant pour solution commune ic=3, j-=— 2. Remplaçons x' et y par 3 et — 2 dans les équations (h), et nous aurons

ajr-{-é7-=3a — 2b, a'a?+6'j-=3a' — 2^';

prenons actuellement a,.i, a', b\ à volonté; posons, par exemple, a=5, i = 2, a'=3, 6'= — 7, et substituons; nous trouverons pour les équations demandées

5a:-t-2^=ii, 3^ — fjjr=z%i,

31 3. Problème. Former deux équations indéterminées. Prenions arbitrairement une équation, et multiplions ses- deux membres par un nombre quelconque ; Téquation résultante sera évidemment une conséquence de la première, et par suite leur système sera indéterminé. Ainsi, les équations

a^+ bjr = c, max '{'mbj'=^mc

sont indéterminées. En y appliquant les formules (c) et (e); du n"" 306, on trouve effectivement

__ cmb — bmc o amc — orna o

"" amb — bma o ' amb — bma o'

314. Problème. Former deux 'équations incompatibles. Prenons une équation quelconque, et, après avoir multiplié ses deux membres par un nombre arbitraire, altérons le dernier en y joignant tel nombre positif ou négatif que Ton voudra ; Téquation ainsi obtenue sera visiblement contradictoire avec la première, et par conséquent, il y aura incompatibilité dans leur système. Les équations

ax-^-by^c, maa?-|-wi^=m^4"^>

formées par ce procédé, sont incompatibles. Si Ton y applique les formules (c) et (e) du n° 306, on trouve

cmb—b[mc-\-d) bd a(mc-[-d) — cma ad

amb — bm^a o ' amb- — bm^i o