III. Discussion dés équations à trois inconnues

31 5. Toute équation du premier degré à trois inconnues est de la forme ax-\-bjr-\'Cz=d\ ce qui résulte de ce que Ton peut transposer les termes en x^jreXz dans le premier membre et

d'algèbre. 1 59

les autres termes dans le second ; puis, représenter par a, b, (?,

la somme des coefficients de a?, j-, z, et par d celle des termes tout connus.

316. Problème. Résoudre les trois équations générales ax+bj-'-^'Cz^d, a'x-^b'j-+c'z=d\ a"a?+i'>-t-c";r=d". (i)

Le procédé d'élimination qui conduit aux calculs les moins compliqués, consiste à prendre les valeurs de x et de j- dans les deux premières équations, en regardant z comme connu, et à les substituer dans la troisième; de là résulte une équation à une seule inconnue z. Cela posé, on tire des deux premières équations

aw-^-bj-^d—cz, a'x-^-b'j-^d' — c'z ;

pour en déduire les valeurs de x et de j*, il suffit de changer,

dans les formules (c) et (e) du n** 306, c en d^-cz et c' en d' — c'z,

ce qui donne

(d—cz)b'—b{d'--c'z) a{d'—c'z)—{d—cz)a'

^ ab'—ba' ' •^" ab'—ba' '

ou bien, en séparant les termes affectés de z des termes connus, {bc'—cb')z—{bd'—db') ^ca'—ac')z—(da'~ad')

^— ab'—ba' ' ^ ab'—ba' '

Substituant ces valeurs dans la troisième équation, multipliant par aV — ba' et tirant la valeur de z, il vient

a"[bd'—db')^b"[da!—ai)-\^d'\ab'—ba') ^- a"[bc'—cb')-{-b"[ca'--ac') + c"{ab'—ba') ' ou, en effectuant les multiplications indiquées et disposant les termes d'une manière convenable,

ab'd"—ad'b"+da'b"—ba'r+bd'a"-db'à" ^— ab'c"—ac'b" + ca'h"—ba'c"-\-bc'a"—cb'a" ' ^^^ On pourrait déterminer jr et x par un procédé analogue; mais il est beaucoup plus expéditif de remarquer que les équations (i) ne changent pas, lorsque, sans toucher aux accents, on remplacé c par b, z par y et réciproquement; la formule (j), qui en est une conséquence, jouit par conséquent de la même propriété; elle devient, après ces mutations

ac'd"—ad'c"'}-da'c"—ca'd"+cd'a"—dc'a" ^~ac'b"—ab'c"+ba'c"—ca'b"^cb'a"—bc'a"'

OU bien, en multipliant le numérateur et le dénominateur par — I et changeant les termes de place deux à deux,

ad'c"—ac'd"'^ca'd"—da'c'*+dc'a"—cd'a" y— ab'c"—ac'b"+ca'b"—ba'c"-\-bc'a"—cb'a" ' ^ ' Remplaçant enfin dans la formule (j) c par a, z par x et réciproquement, on trouve, après avoir multiplié les deux termes de la fraction du second membre par — i,

db'c"—dc'b"+cd'b"^bd'c"+bc'd"—cb'd" ^ — ab'c"—ac'b"-{-ca'b"—ba'c"+bc'a"—cb'a" ' ^'^ Appliquons ces formules à la résolution des trois équations X — 2^-}-3z=3, 2a: — 3jr— 9^=1, 3x — ^j- — 4^=6; il faudra faire a = i, 6= — 2, c=3, d=3, a'=2, b'= — 3, (?'= — 9, d'=i, a"=3, 6"= — 5, c"= — ^4» d"=6, et substituer dans (j), (k) et.(l); on trouve, tout calcul achevé, x=^o, j-=io, z=i.

317. Formation des formules (j), (k) et (1). Pour former le dénominateur commun, on permute de toutes les manières possibles les coefficients a, b, c, des trois inconnues dans la première équation; ce qui se fait en prenant les deux produits ab et ba et enj introduisant la lettre c successivement à la 3®, 2® et 1 " place, d'où résultent les 6 permutations abc, acb, cab, bac, bca, cba; on affecte ensuite la deuxième lettre de chaque terme d'un accent et la troisième de deux; puis, on sépare ces termes alternativement par les signes — et +, ce qui donne pour le dénominateur

ab'c"—acb"+cab"—ba'c"+bc'a"—cb'a".

Pour former le numérateur relatif à chaque inconnue, on remplace, dans ce dénominateur, le coefficient de cette inconnue dans la première équation par le terme tout connu, en ajant le soin de ne pas déplacer les accents. Ainsi pour Vinconnue X, on change a en d ; pour l'inconnue y, b en d ; pour l'inconnue z, c en d.

318. Trots équations du premier degré à trois inconnues ne sont généralement susceptibles que d'une seule solution. En effet, par Téliminalion successive i"* de jr et de z, 2® de x et de z, 3° de X et de j*, ces trois équations se ramènent à trois autres du premier degré qui ne renferment plus qu'une inconnue, savoir : la première, x; la deuxième, jr; la troisième, z. Or, ces dernières

ne peuvent être résolues que par un seul système de valeurs de a?, y, z (301). Donc les premières jouissent aussi de la même propriété.

319. Discussion des formules (j), (k) et (1). Afin d'abréger, remarquons que la formule (1) peut s'écrire ainsi

^— a{b'c"—c'b'')+a'{cb"-^bc'')-\-a"{bc'—cb') ou de la sorte

^ dL-\-d'M+d"îf ~ aL + a'M+a'^N ' en posant

L=b'c"—c'b'\ M=cb"—bc'\ ^=r.bc—cb', (m)

Ajoutons deux fois ces trois dernières équations, 1° après les avoir multipliées par é, b\ b"; 2° après les avoir multipliées par c, c, c"; nous obtiendrons , toute réduction faite dans les deuxièmes membres,

bL-\-b'M-{-b"îi=o, cl-|-c'm-)-c"n=o, (n)

équations dont nous nous servirons incessamment.

Cela posé, désignons par a, b, g, les numérateurs des inconnues X, y, z, et par d leur dénominateur commun, et distinguons trois cas, comme dans les discussions précédentes : 1^ d n*est pas nul; 2° d = o; 3° d=o et a=o.

1 ®' Cas. Si d n'est pas nul, les valeurs

A B jc^

sont finies et déterminées, et les équations (i), n'étant satisfaites que par un seul système de valeurs finies de x, y, z, sont déterminées. 2® Cas. Si d=o, les valeurs des trois inconnues deviennent