III. Relations entre les racines et les coefficients

339. i^ La somme des deux racines d^une équation du second degré est égale au coefficient du second terme, pris en signe contraire ; 2° le produit des mêmes racines est égal au membre connu, pris aussi en signe contraire. En effet, si Ton désigne les deux racines de l'équation x^-{-px = g par a et b, on aura

ajoutant ces équations membre à membre, il vient et, en les multipliant,

^=(£+i/F7,)(-f-i/fT",).

OU, parce que le premier facteur du second membre est la somme

D*ALGÈBRÈ. 1 W

des deux quantités dont le second facteur exprime la différence,

340. Problème. Former une équation du second degré dont les racines soient a et b. Si Ton suppose le coefficient de x* égal à l'unité, — (a+ft) et — ab sont évidemment le coefficient du second terme et le membre tout connu (339) ; Téquation demandée est en conséquence

a?* — [a-{'b)x=. — ab ; on trouve en effet, en résolvant cette équation, x = a et x = b. On peut encore vérifier ce résultat, en y mettant alternativement a et i au lieu de x, ce qui donne

a* — {a-\'b)a = — aé, b^ — (a+6)6 = — ab, équations qui se réduisent Tune et Tautre à — ab= — ab.

Ainsi, l'équation dont les racines sont^ et — 5 est

341 . Problème. Une équation du second degré étant donnée, former une autre équation dont les racines soient égales à celles de la première, prises en signes contraires. Soit :r*-f-/?a;=g l'équation donnée, et a, é les deux racines, en sorte que a-\-b= — p etab=^ — q. Les racines de l'équation cherchée étant — o et — 6, le coefficient de x sera exprimé par — ( — a — 6) = a-\'b= —p et le membre connu par — ( — a){ — 6)= — ab=q. L'équation demandée est donc x* — px= g ; de là il suit que, pour changer les signes des racines d'une équation du second degré, il sufit de changer le signe du coef^cient du second terme.