IV. Résolution de quelques problèmes

342. Problème. Trowoer un nombre dont le curré augmenté de 10 soit égal à 7 fois le même nombre.

Soit X le nombre inconnu ; on a immédiatement a?*-[-io = 7a7 ou x^ — 70?= — 10;

< 78 PRINGlf ES

on tire de cette équation

x=2 + ^Ja.-,o=Z+^/â = 2±3 et, en dédoublant les racines ,

Les nombres 5 et 2 satisfont l'un et Tautre à la condition demandée, car

5'-f- 10=35=7. 5, 2'+io=i4=7-2.

343. Problème. Une personne achète un cheval qu'elle vend, quelque temps après, pour 2 1 louds ; à cette vente, elle perd autant pour 100 que le cheval lui avait coûté. On demande combien elle l'avait acheté'.

Désignons par x la somme cherchée évaluée en louis ; puisque

ce sur 100 louis cette personne perd x, sur i louis elle perd ,

et par conséquent sur x louis elle éprouve une perte égale à

— .X ou ; or, cette perte est aussi exprimée par x — 21 ;

donc

=j: — 21 ouaî*=iooa7 — 2100 ou bien x^ — iooa:= — 2100;

équation du second degré d'où Ton tire

a? = 5o +K 25oo— 2ioo=5o + k^4o^=5o i ^^»

ou bien ic=:5o-}-2o=7o et a:=5o — 2oî=3o.

Ainsi ce problème est susceptible de deux solutions que nous allons vérifier sur l'énoncé même : 1 ** si cette personne a acheté le cheval 70 louis, et si, en le vendant, elle a perdu 70 pour

100, la perte est -2— .70=40; effectivement, 70 — 21=49» 100 ' '*-

2** si elle l'a acheté 3o louis, la perte est pareillement

.3o=9, ce qui est encore exact, puisque 30—21=9.

D*ALGÈBRE. \ 7d

344. Problème. Uextrémité supérieure d'une échelle est éloignée de 7 pieds du faite du mur sur lequel elle s'appuie, et la distance de t autre extrémité au pied du mêms mur est de 6 pieds. On demande la hauteur de ce mur, sachant que la longueur de Véchelle en est les deux tiers.

Soit X la hauteur cherchée; x — 7 est le côté d'un triangle

rectangle dont Thypoténuse est la longueur -rj- de l'échelle,

et dont l'autre côté de l'angle droit est la distance 6 de son extrémité inférieure au pied du mur; or, la somme des carrés des cotés de l'angle droit d'un triangle rectangle est égale au carré de l'hypoténuse, donc

[x—'jY-^&^i^X ou :r'-i4a:+85=^.

Préparant cette équation, il vient successivement

gx' — i2t6a?-f-765=4^', 5ar' — i26r'= — 766, 126 765

on tire de cette dernière

et, en séparant les racines, a:=i5 et 07=10-^. Ces deux valeurs satisfont également à la question.

345. Problème. Déterminer la base du système de numération dans lequel le nombre 12g se trouve exprimé par 243.

Soit X cette base; les unités du premier, deuxième, troisième.... ordre de ce système, valent i, x, a;'....; le nombre de ce système exprimé par 243 correspond conséquemment au nombre 237^+4^+^ d" système décimal; de là résulte l'équation

2j:' -1-4^+3=1^^9 ou bien x^-^-o^x^^Si; on en déduit

x= — 1 + |/"{— i)'-f63=— 1 + 8, ou a;=7 et x=—g. Ce problème a donc deux solutions, en admettant toutefois que la base demandée peut être négative.

i 80 t>RiNCÎPÈS

346. Problème. Partager le nombre a en deux parties, telles que la plus petite soit à la plus grande comme cette dernière est au nombre a.

Soit .a? la plus grande partie, a — x sera la plus petite, et Ton aura

a — X : X :: X : a, proportion d'où Ton conclut

x'^^à" — ax et ar'+û^==^^' Résolvant celte équation, on trouve

û I t y^o,^ I > — a+aVS — 1 + \/5

ces deux valeurs de x sont réelles, incommensurables et de signes différents; la racine négative, quoique satisfaisant à Téquation, est évidemment inadmissible. La réponse à la question proposée est donc

On peut remarquer que cette valeur de x est l'expression du

côté du décagone régulier, inscrit dans un cercle dont le rayon

serait a.

347. Problème. Plusieurs droites, situées dans le même plan et telles qu'il n'en existe pas de parallèles ni plus de deux concourant au même point, se rencontrent en a points. Déterminer le nombre de ces droites.

Représentons ce nombre par x; chaque droite, rencontrant les X — I autres, fournit a; — i points d'intersection; l'expression x[x — i) ou X* — X représente donc le double du nombre des points de concours, à raison de ce que l'un quelconque d'entre eux, se trouvant à la fois sur deux droites, a été compté deux fois; en conséquence, l'équation du problème est

dou x=i-"f-\/ 7 + 2a et 0?= -= ■ — .

Le radical étant plus grand que l'unité, la seconde valeur de x

est négative et doit être rejetée. Quant à la première, elle ne

sera visiblement admissible que dans le cas où i-|-8a sera un carré parfait.

Si Ton fait a = 21, la formule donne aî=7; si Ton suppose a =4, i+8a ou 33 n*est pas un carré exact et la question est insoluble.

348. Problème On devait partager 36o fr. entre un certain nombre de personnes ; quatre d'entre elles se trouvent absentes, et cette circonstance augmente la quote-part des autres de 3 fr. Combien devait-il d'abord y avoir de partageants?

Soit X ce nombre de personnes ; si elles assistaient toutes au

partage , chacune recevrait — ; mais puisqu'il en manque 4

le nombre des partageants n'est plus que a? — 4» ^^ P^r suite, la

quote-part s'élève à . ; or , d'après l'énoncé , la différence

de ces deux expressions doit êtr^ 3 ; donc on a ^ 36o 36o

et, divisant par 3, puis chassant les dénominateurs,

x{x — 4) = i2o.T — i2to(ar — 4)> ^^ bien a;* — 4^=480; on déduit aisément de cette équation

a?=2 ±J^4+48o = 2 + 1/"484=2+22, ou a?=24 et x= — 2o,

Ces deux valeurs vérifient séparément l'équation du problème, mais la dernière est inadmissible, vu qu'un nombre de personnes ne peut être négatif. Il n'y a donc qu'une solution.

Il est cependant à remarquer que la valeur négative de x, abstraction faite de son signe, correspond à une autre question, numériquement liée à la première, que l'on peut énoncer ainsi : On devait partager 36o fr. entre un certain nombre de personnes; quatre nouveaux partageants surviennent, et cette circonstance diminue la part commune de 3 fr. Quel était dans le principe le nombre des partageants ?

En désignant ce nombre par x, on trouve pour l'équation du problème

3 = r-T- , d'où X 4'Ax==^8o.

i 82 PRINCIPES

Or, celte équation ne diffère de celle d'abord obtenue, que par le signe du coefficient de x, et, d'après le (n* 338), elle doit avoir pour racines celles de la première, prises en signes contraires , c'est-à-dire, — 24 et 20 ; le nombre 20 répond donc à ce dernier énoncé.

349. Problème. Partager le nombre a en deux parties^ telles que la somme des quotients^ que l'on obtient en divisant la première par la seconde et la seconde par la première^ soit nn nombre donné b.

Désignons la première partie par a?, l'autre sera a — a?, et l'on aura immédiatement

1 z=:b, ou bien a?'-|-(a — xy=ibx[a — x);

tt' "'X X

développant les calculs, et mettant cette équation sous la forme exigée, il vient

(6+2)0;' — (6-["2)aic=— a', ou a?' — ax= — 7— j — ;

de là on tire

Lorsque b est <:2, auquel cas la quantité soumise au radical est négative, les racines sont imaginaires et le problème impossible. La plus petite valeur que l'on puisse attribuer à b est donc 2;

dans cette hypothèse, la formule précédente donne a:= - ,^ c'està-dire que le nombre est divisé par moitié, ce qui d'ailleurs est évident.

Lorsque b est >2, le radical est une expression réelle plus petite que l'unité; conséquerament les deux racines sont positives , la première > - et la seconde < — , et en outre leur 2 2

somme est égale à a ; elles représentent donc les deux parties cherchées du nombre a, ce que l'on pouvait prévoir : car, si la question était de nouveau traduite en algèbre en prenant pour inconnue la deuxième partie, on retomberait évidemment sur l'é-

quation d*abord obtenue. Ainsi, ce problème u*est susceptible que d'une seule solution.

350. Problème. Deux vojrageurs partent au même instant des points A et B, distants de 20 lieues, l'un de A pour aller en B, l'autre de B pour aller en A; leurs mtesses sont uniformes et dans un rapport tel, que le premier arrive en B quatre heures après qu'ils se sont rencontrés, et que le second arrive en A neuf heures après cette rencontre. On demande à quelles distances des points A eî B ils se sont [rencontrés, et après combien d'heures.

Si X est la distance du point de rencontre à A, 20 — x sera la distance du même point à B ; le premier voyageur, parcourant

ao — X lieues dans 4 heures, met — - — heures pour faire une ^ 20 — X ^

lieue et — - — pour en faire x. On trouve de la même manière 20- — x*"

que le second voyageur emploie ^ heures pour parcourir

20 — X lieues. Or, au moment de leur rencontre, ils ont marché pendant le même temps ; donc

^ i = — ^ ou q 20 — x] =Ax .

On peut résoudre de suite cette équation, en extrayant la racine carrée des deux membres, ce qui donne

3(20 — a:)= + 2a:, et par suite x= , ou a?= 12 et x=6o;

la seconde racine x= 60 ne peut satisfaire à renoncé, puisque la distance de A à B n'est que de 20 lieues ; la première racine x= 12 répond donc seule à la question; ainsi, les distances du point de rencontre aux points de départ sont 12 et 20 — 12, ou

8 lieues, et la rencontre a lieu après --^ ou 6 heures.

Reprenons ce problème d'une manière générale; supposons que la distance des points de départ soit d, et que les voyageurs arrivent en B et A, a et i heures après leur rencontre; enfin, prenons pour inconnue le temps z, après lequel ils se sont ren^ contrés.

Puisque les voyageurs parcourent la distance d, l'un en a-^-z

et l'aulre en b-^z heures, ils font respectivement dans une heure — j— et , lieues ; dans un temps z, ils ont conséquem-

dz dz

ment parcouru les espaces —j— et jtt-, et, comme ils se trouvent alors au même point de la ligne AB, on a

dz , dz ^ ,. z . z — 1 r 7~7~ = ^» ou bien — -. f- 7-1 — = i ,

équation qui se réduit à z^=ab, d'oîi z = V ab. Si Ton suppose a = 4 et 6=9, cette formule donne z= 1^4-9=6, résultat obtenu plus haut.

351 . Problème. Déterminer la profondeur d*un puits , «achant : 1 ° quHl s'écoule a secondes entre Vinstant où l'on y laisse tomber une pierre et celui où on l'entend frapper le fond du puits; 2° que F espace parcouru par un corps pesant dans un temps donné, s'obtient en multipliant i5 pieds par le carré du nombre de secondes dont il est composé; 3° que le son se transmet uniformément et parcourt environ 1000 pieds par seconde.

Si ron représente par x la profondeur cherchée, x égale i5 pieds multipliés par le carré du nombre de secondes que la pierre emploie pour parcourir cette distance ; donc le carré de

ce temps est — r-; d'un autre côté, le même temps est exprimé

par a , puisque le son, produit par le choc, se transmet à

Touverture du puits en secondes. Ainsi, l'équation du problème sera [a 1 = —7-;

posons, pour éviter les calculs,