Reprenons Téquation générale

x^-\-px=^q ou x'-^px — q=o, et remarquons que Ton a identiquement

x'-^px—q^ x^-^-px-]^ ^ ^ J-^ + qj

ou bien

x'+px—q = \x-{--^j — J r-^ +qj , et, parce que le dernier membre est la différence de deux carrés,

conséquemment Téquation x'-^-px — q = o peut se mettre sous la forme

et Ton ne peut y satisfaire que de deux manières :

1 ^ en posant a7+^— r ^+y=o, d*oùa?=— ^ + ^7-+?;

2°enposanta:4-£-f- r ^+5r=o, d'oiia?= — ^ — '^^^f""i"5'''

de là découlent la règle pour résoudre les équations du second degré et le théorème du n** 335.

368. Si Ton désigne les deux racines de Féquation x^-\-px — q=o

par a et 6, on aura

et, en retranchant tour à tour ces dernières de Fégalité a?=a?.

substituant les premiers membres aux seconds dans Téquation identique (a), il vient

Ainsi, le premier membre d'une équation du second degre\ dont le coefficient dti carré de Vinconnue est Vunité et dont le second membre est zéro y est identiquement égal au produit de deux facteurs binômes du premier degré, ayant pour terme commun l'inconnue, et pour seconds termes les racines prises en signes contraires.

369. Si Ton développe le second membre de Téquation précédente, on trouve

x'-fpo?— 9=0?' — [a+b] X'\-ab,

identité qui ne peut avoir lieu, à moins que Ton ait

p= — (a+*)» — q=ab;

ce sont les relations du n° 336.

370. Problème. Décomposer le trinôme du second degré La?*4-MJ?+N en deux facteurs du premier degré.

Résolvons à cet effet Féquation

La? -|"M^+N=^o ou X -j x-\ =o;

après avoir divisé tous les termes par l, nous en tirerons

^= Tl ' (^^

soient a et 6 ces deux valeurs de a?, nous aurons (335)

a?'+ — xA =(ic— a) [x—b),

et, en multipliant par l,

ijc" +Mx-|-N=L [x — a) [x— b) . (c)

374. S'il existe entre les trois coefficients l, m, n la relation m'=4nl, la formule (b) se réduit à

x=z +0, dou a=6 =

l'identité (c) prend alors la forme

et, en extrayant la racine carrée des deux membres, il vient

Donc le trinôme lx^-^-mx-^^s est un carré parfait, quand le carré du coefficient du terme mojen est égal à quatre fois le produit des coefficients extrêmes,

IL Discussion des racines.

372. Nous distinguerons trois cas dans la discussion des formules

celui où la quantité -y- -|- ?> soumise au radical, q'sX positive \

celui où elle est nulle ; celui enfin où elle est négative.

\ ^ Cas. Lorsque -^ + y est positif , les deux racines sont

réeltes, commensurables ou incommensurables, suivant que cette expression est ou n'est pas un carré exact.

Ce premier cas offre trois variétés : \^ q positif; 2° y = o ; 3' q négatif, mais plus petit, indépendamment des signes,

que ^.

\ '^ Variété. Si q est positif, on a

~7-^ 4-+? 6t par suite |/ -^ ou •^< ^/^-y-H-g; chaque racine prend en conséquence le ^igne du radical qui lui

correspond. Donc toute équation du second degré, dont le membre connu est positif, a deux racines réelles et de signes différents, 2® Variété. Si g = o, les racines deviennent ^___p , ^ £ JL=^

Ainsi, les racines d'une équation du second degré, privée de terme tout connu, sont égales, l'une à zéro, et l'autre au coefficient du second terme pris en signe contraire.

Au surplus, on peut tirer ces résultats de Téquation x^-\-px=^o; car, mettant x en fadeur, elle prend la forme a:(a?4-p)=o, et Ton peut y satisfaire, soit en posant x=o, soit en posant a;-[-/?==o, d'où x== — p.

3* Variété. Si q est négatif et numériquement plus petit que

~- , on a

~- > ^-{-q etfdiT suite — > |/ 7- + ? ; les deux racines prennent donc le signe de leur premier terme — ; de là, il suit que lorsque le membre tout connu est négatif et plus petit, abstraction faite des signes, que le carré de la moitié du coefficient du second terme, les deux racines sont réelles et de même signe, positives si ce coefficient est négatif, négatives s'il est positif.

On peut parvenir aux résultats précédents par une voie qu'il ne sera pas inutile de faire connaître. Si Ton représente les deux racines par a et b, on a, comme on le sait,

ai = — q, a-|-6 = — p',

or, 1° si 5^ est positif, les racines sont de signes contraires, attendu que leur produit — q est négatif; la seconde relation fait voir en outre que la racine, numériquement la plus grande, a le même signe que — p. 2° Si 5'=o, les relations deviennent ab^=^o et a + 6== — p, ce qui permet de conclure que Tune des racines est nulle et que l'autre est —p. 3® Si q est négatif, les deux racines ont le signe de — p\ puisque leur produit — q est positif et que leur somme est — p.

Faisons passer le terme — - dans le premier membre de la formule

et élevons au carré (333], il vient

d*où il suit que dans le cas oà les racines d'une équation du second degré sont réelles^ tous les termes^ réunis dans le premier membre, équivalent à la différence de deux carrés.

2® Cas. Lorsque -^ -|-5'=o, ou, ce qui est la même chose, lorsque g = — y- , les valeurs de l'inconnue se réduisent à

conséquemment, si le nombre connu est négatif et numériquement égal au carré de la moitié du coefficient du second terme^ les deux racines sont égales entr'elles et à cette même moitié prise en signe contraire.

L'équation a?' -|-pa? = 9 devient dans cette supposition x^-{-px= — y-ou .T*-["i^^+ / =o> ou enfin (a:+ -| =o;

donc, quand il y a égalité entre les racines, tous les termes de l'équation, transposés dans le premier membre, forment un carré parfait.

La dernière des équations précédentes, mise sous la forme

fait concevoir comment peut s'établir l'égalité entre les deux

racines.

p^ 3® Cas. Lorsque -y- -f- q est négatif, ce qui exige que q soit

D*AL6ÈBIIE. 493

négatif et d'one valeur absolue plus grande que ■— , le radical et par suite les racines sont imaginaires (458).

Représentons par k le terme — — et par h la racine carrée

de l'expression -^ 1- q prise positivement, en sorte que

— A'= -~ — h?î I21 formule qui donne les racines devient

x=k±\riih^ ou x=k±h\r:^.

À6n de reconnaître la forme d'une équation du second degré dont les racines sont imaginaires, faisons passer le terme k dans le premier membre et élevons au carré (333) ; nous aurons

[x—kY=z—h^ ou (or— &)»+A^=o; équation dont Timpossibilité est manifeste, puisqu'elle signifie que la somme de deux quantités positives, dont la seconde ne peut être annulée, est égale à zéro. Donc, lorsque le membre tout connu est négatif et plus grande abstraction faite des signes, que le carré de la moitié du coefficient du second terme j i'^ les racines sont imaginaires \ T elles sont conjuguées et de la forme x=^k±h\r — 1 ; 3° l'équation est impossible, et tous ses termes transposés dans le premier membre, équivalent à la somme de deux carrés.

373. La discussion précédente fait connaître la nature des racines d'une équation du second degré, à l'inspection de ses coefiicients. Voici des exemples de tous les cas.

t^' Exemple, a?' — 6a;=7. Le second membre 7 étant positif, cette équation a deux racines réelles et de signes contraires ; la plus grande des racines est positive , car leur somme est —(—6) ou 6.

2* Exemple. L'équation x^ — 6a;=o ou bien a; (a: — 6)==o a deux racines réelles, l'une égale à zéro et l'autre à 6.

3* Exemple, x* — 6a: = — 7. Les racines sont réelles, car

7 est < ( - ] ou 9 ; 2° elles sont de même signe, attendu que

leur produit 7 est positif; 3* elles sont positives, puisque leur

somme est 6.

Chacune des trois équations précédentes signifie que la différence de deux carrés est égale à zéro. On tire, par exemple, de la dernière x=3 + j,^2; et si Ton remonte a réquation, en suivant la règle du n° 333, on trouve successivement

X— 3= + ir2, (or— 3)*= (^^2)^ (a?— 3)^— (/-2)«=o.

it^ Exemple. a?*-[-6a:=5 — g. Le membre tout connu — 9 étant

négatif et numériquement égal àl \ ou 9, les deux racines

sont égales entr'elles et à ou 3 ; l'équation donnée peut se

mettre sous la forme aî*+6a?+9==so, et par suite sous celle-ci (a:+3)«=o.

5* Exemple, a?* — 20?= — 5. 1*^ Les racines sont imaginaires, car le second membre — 5 est négatif et a une valeur absolue

plus grande que ( j ou i ; 2** elles sont de la forme k+hV — i ,

puisque Ton tire de l'équation x=i +y — 4 o" a?=i+2k^-^^; 3° réquation est impossible , ce qui résulte de la formule a:=i+2l/^ — I, d'où Ton déduit successivement (333)

374. La discussion de Téquation rt2r*-^éa?=c conduit à quelques nouvelles circonstances que nous allons examiner; divisée par a, elle devient

x*4-^x= — , dou a? = + |/\ -r-rH ^

ou x= == !--!— • (d)

Ainsi^ les racines seront réelles, égales ou imaginaires^ selon

que 6'-f-4ac sera >, = ou < o.

Supposons d'abord que a=o, il vient