X:=z =— ou X=^ • = - et X

Tune des racines se présente sous le symbole de Findétermination et Fàutre sous celui de l'impossibilité. Cependant l'équation, devenant dans celte hypothèse o.ap*-j-6x=c, s'abaisse au premier

d'algèbre. f95

degré et fournit seulement a? = — ; Texpression - a donc ici

une valeur finie.

Faisons à la fois a = o, 6 = o ; on a ^

a:=— =— ou x= - et a:=-.

Ce qui semble indiquer que les racines sont indéterminées. Il est manifeste qu'il n'en est pas ainsi, car Téquation o.a?*-|-o.x==(?

est visiblement impossible. Le symbole ~ indique donc dans

ce cas une absurdité.

Posons enfin a = o, 6 = o, <: = o; on obtient, comme précédemment, a?=- et aî= -; mais alors, Téquation o.a:'+o.x=:o o o

étant identique, ces résultats sont exacts.

On peut donner à la formule (d) une forme telle qu'elle répofide exactement aux trois suppositions précédentes; il suffit pour cela de multiplier les deux termes de la fraction du second membre par — b'^\^b^'\-^ac, en observant que (46)

(—6 + /"*•+ 4ac) (^i4:^^i*+4a(?) = (— 6)«— (K"6*+4ac)*

= — ^ac ; elle devient alors

— ^ac . ic

x= — : — ,-~.x~7-=-T-^ T==T ou bien x-. ^~ ^

Si Ton pose actuellement <** a=o ; 2° a=o, 6^=0; 3** fls=o, éac=o, c=o; on obtient

1« a;=T-rT ou ^= — et 0;= - ; 2« a:= -^rî 3° ^

375. 5i /'wne des racines d'une équation du second degré est eommensurabîej incommensurable ou imagi/nairej Vautre racine est aussi de la même forme, car ces diverses circonstances ne dépendent que du radical commun aux deux racines.

Il est à remarquer que dans le cas où les racines sont commensurables, Tune d'elles peut être entière et l'autre fractionnaire* On en voit un exemple dans le n^ 344.

376. Lorsque p e^ q sont des nombres entiers, l'équation x'+px=q ne peut avoir pour racine une fraction rationnelle.

Imaginons en effet que la fraction rationnelle et irréductible -7-

soit racine d'une telle équation, on aurait

r~ -j-jt? T = î et, en multipliant par b, —-f-J^^^^?*»

identité qui ne saurait exister, puisqu'on vertu du n'' 94, la

fraction -r- est irréductible, et qu'un nombre fractionnaire ne

peut être égal à un nombre entier.