III. Discussion des problèmes du second degré

377. Les problèmes du second degré sont généralement susceptibles de deux solutions, puisque les équations auxquelles ils conduisent ont la propriété d'être satisfaites par deux valeurs différentes de l'inconnue; il existe cependant quelques problèmes, où les deux solutions s'identifient ; c'est ce qui arrive , entre autres, quand on parvient à une équation dont les racines sont égales, ou bien encore quand il y a dans^ l'énoncé deux quantités inconnues parfaitement symétriques par rapport aux données. Tel est le problème du n^ 346.

Ce qui précède suppose que l'équation du problème est la traduction complète de son énoncé; s'il en était autrement, il pourrait se faire, comme on l'a vu dans quelques-unes des ques^ tiens du chapitre YI, que l'une des racines ou même toutes les deux fussent inadmissibles. Tout ce qui a été dit à cet égard pour les problèmes du premier degré (284), convient également à ceux du second.

378. On peut établir, relativement aux solutions négatives, un principe absolument conforme à celui du n^ 285.

Toute valeur négative de l'inconnue, tirée de l'équation d'tm problème du second degré, répond, abstraction faite de son signe, à un autre problème, dont l'énoncé peut se déduire du premier, en attribuant à l'inconnue un sens opposé.

En effet, si Ton suppose que le premier problème ait conduit à réquation x^-^-px^^q, on pourra en déduire celle du second, en y changeant x en —x, ce qui donnera

( — a?) ' + ;>( — x) = q ou x^ ~px = q ; or, ces deux équations ne diffèrent que par le signe du coefiScient de la première puissance de Tinconnue; donc, en vertu du n° 341 , les racines de Tune sont égales à celles de Tautre prises en signes contraires. C.Q.F.D.

Au surplus, il est à remarquer que ce principe n'est applicable que dans le cas où l'inconnue peut se prendre dans une acception contraire ; si cette interprétation était impossible, la valeur négative de l'inconnue, prise positivement, correspondrait encore en général à une question analogue à la proposée. Nous citerons pour exemple le problème du n° 345.

Nous allons appliquer cette théorie au problème des lumières, remarquable en ce qu'il réunit les points les plus importants de la discussion.

379. Problème. Trouver sur la droite AB un point également éclairé par les deux lumières A et B, sachant : 1 ^ que la longueur de la droite qui les unit est de d mètres; 2° qu'elles répandent, à un mètre de distance, des clartés représentées par les nombres a e^ b ; 3** que, d'après une loi de physique, tintensité d'une lumière à une distance quelconque est exprimée par une fraction, dont le dénominateur est le carré de cette distance, et dont le numérateur est l'intensité de cette lumière à un éloignement d'un mètre.

Supposons le problème résolu, et soit C le point demandé : si Ton représente la distance AC par x, la distance AB — AC ou BC est exprimée par d — x; en vertu de l'énoncé, l'intensité de la lumière A au point C sera -^ , et celle de la lumière B au même

point sera , , .^ ; donc, puisque le point C reçoit de l'une et

de l'autre la même clarté, on aura

^ = -(d3i)T ou«(d-*)'=i^'; (e)

et, en effectuant les calculs indiqués,

ad* — 2arfa?-|-aa?*=6a:* ou {a—b)3i!*—2adx=t= — ad'; (f) équation d'où Ton a tiré dans le n° 335

d.y/a di/ a

On peut parvenir aux mêmes résultats fort simplement, en extrayant la racine carrée des deux membres de l'équation (e) ; de là résultent

\/a.{d — x)^=^+\/h,x et \/aA — \/a.x^=>-^\/h,x\ changeant les membres de place et faisant passer le terme — \ a.x dans le premier, il vient

{^/-a+^^6)a;=^ra.d, d'où x= ^l'^i^ .

Pour faire une application de cette formule, posons d'=^4^y asrc49, é = 25, et substituons, en observant que 1/^49 =* 7> ®^ V^2D=5, nous trouverons

orass-Zii-. ou a?=«28 et a?==i68.

7±5 Les deux points C et D, tels que AC = 28 mètres et AD = 168 mètres, satisfont en conséquence à la condition demandée (*).

(*) Les points C et D, où les deux lumières éclairent également, jouissent de la propriété de diviser ]a droite ÂB en parties harmoniques^ c'est-à-dire que les parties sont liées par la proportion