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d'algèbre. i 99
Discussion. Examinons d*abord la première racine
elle est visiblement positive et plus petite que d, puisque le premier terme [Ta de la fraction qui multiplie d est plus petit que
le second \ra-^\rb\ cette racine est d'ailleurs > ou < - , suivant que a est > ou < 6. Lorsque a = i, elle devient
Ainsi, il existe toujours entre les deux flambeaux A et B, un point qu'ils éclairent également; ce point se trouve au milieu de la droite AB quand ils sont de même intensité, et en général il est compris entre le milieu de cette droite et le flambeau le moins intense.
Considérons présentement la seconde racine
[Ta ,
^= ^a-iTb -^^ dans la triple hypothèse de a > 6, a<:i, a = b.
Si le point est le milieu de la droite CD, la dernière des équations obtenues peut s'écrire ainsi
mES'=âTm' <"'^«"— '- cô-=AoxBo.
après avoir chassé les dénominateurs et fait la réduction } or, si Ton désigne par i un point de la circonférence décrite sur CD comme diamètre, on aura, en vertu de la proposition xxxir, livre III, de la géométrie de M. Legendre,
At AC , .m" Âc'
ou bien, en remplaçant te rapport de AG • BG par son égal a : b,
At ^ a b a
donc tous les points de cette circonférence sont également éclairés par les lumières A et B. Si on la fait tourner autour de son diamètre CD, tous les points de la sphère engendrée jouiront également de la même propriété. Quand les flambeaux ont même intensitéy là sphère dégénère en un plan perpendiculaire sur le milieu de la droite ÂB.
200 ϻRINCIPES
1° Si a > 6, le dénominateur [Ta — [Tb étant positif et plus petit que le numérateur |/~a, la valeur de x sera positive, mais plus grande que d. Il y a donc un second point D, sur le prolongement de AB et du côté du flambeau le plus faible^ qui jouit de la propriété demandée.
2® Si a < 6, le dénominateur >/'a — |/"i étant négatif et d'une valeur absolue plus petite que le numérateur [Ta, la valeur de x est aussi négative et numériquement plus grande que d. Cette valeur de x, prise positivement, correspond à un autre problème, dont renoncé se déduira de celui dont il s*agit, en donnant à x une acception opposée , c'est-à-dire , en comptant la distance que représente cette lettre dans le sens AE (378) ; or, on conçoit aisément que ces deux problèmes sont identiques, attendu que l'on n'a pas précisé dans l'énoncé la position que doit avoir le point demandé par rapport aux deux lumières A et B. Concluons donc que, dans cette hypothèse comme dans la précédente, il existe un second point E, sur le prolongement de AB et du coté de la plus faible lumière, qui remplit la condition voulue.
3® Si a= i, la valeur de x prend la forme
iTa , [Ta . d
[Ta — \ra o
Le calcul, en donnant un point situé à l'infini, nous apprend que la seconde solution n'existe plus; l'équation (f) s'abaisse effectivement au premier degré et devient
— 2adx = — ad^ d'où x=-y
résultat déjà obtenu.
Enfin, si l'on suppose à la fois a==ft et d=o, les valeurs de x
se présentent sous la forme o et — ; ce qu'il était facile de
prévoir, car les flambeaux coïncidant et ayant même intensité, tous les points de la droite AB, en y comprenant celui où se trouvent les deux flambeaux, sont également éclairés.
380. Tout problème qui conduit à une équation du second degré' dont les racines sont imaginaires, est impossible. Car,
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s'il était susceptible de solution, il y aurait au moins un nombre fini, qui, mis à la place de l'inconnue, vérifierait l'équation ; ce qui est contre la nature des équations du second degré dont les racines sont imaginaires.
Voici deux exemples :
381 . Problème. Partager le nombre p en deux parties^ dont le produit soit q.
On voit immédiatement que les deux parties cherchées ne sont autres que les deux valeurs de x dans l'équation a?' — px = — q, puisque la somme de ses racines est p, et que leur produit est q (336). On ennire
tant que q est < -y— , les deux parties sont réelles ; elles sont
égales, SX q= -y- ; enfin, lorsque q est > -y— , elles deviennent
imaginaires, et le problème est impossible.
Pour prouver cette impossibilité, indépendamment des théories précédentes, il suffit de faire voir que le produit des deux parties
d'un nombre p Vie peut être plus grand que la quantité j- ,
qui exprime le carré de la moitié de ce nombre. Si l'on désigne à cet effet par d la différence entre les deux parties du nom-
^ v d bre /?, la plus grande sera représentée par i- -f - , la plus petite
o d par^ (5), et l'on aura (46)
