I. Équations à deux termes

383. Les équations à deux termes sont celles qui ne renferment que deux espèces de termes; les uns affectés d*une certaine puissance de Tinconnue et les autres tout connus.

384. Toute équation à deux termes est de la forme a?"=+y, q désignant un nombre positif quelconque. Car, si Ton fait passer dans le premier membre les termes qui renferment Tinconnue et dans le second les termes connus, on obtiendra, réduction faite, une équation de ce genre, ax'^^^^b. Divisant par a et

représentant par +q l'expression — , en convenant de prendre le

signe -j- quand 6 et a sont de même signe et le signe — dans le cas contraire, elle prend la forme annoncée x" = + y.

385. Pour résoudre une équation à deux termes, on la raniène à la forme x^=z+q et l'on extrait la racine m'^® des deux membres^ en se rappelant : i® que toute racine de degré pair d'une quantité doit être affectée du double signe plus ou moins (i56) ; 2** que les racines de degré impair d'une quantité ont le signe de cette quantité (157). Conséquemmçnt, des équations

on déduit^ dans le cas où m est un nombre pair,

x^=±\rq, x=^±V — q,

et, dans celui ou m est un nombre impair,

x^\rq, x=—\rq>

Ainsi, lorsque le degré de Téquation est pair, il y a deux racines réelles ou aucune, suivant que le second membre est positif ou négatif; lorsque le degré est impair, il y a toujours une racine réelle^ mais il ne peut y en avoir qu'une.

IL Équations résolubles par la méthode du second degré,

386. Les équations résolubles par la méthode du second degré sont celles qui sont réductibles à la forme x*™-f-px"=^; on voit que Texposant de l'inconnue x dans le premier terme est double de l'exposant de cette lettre dans le second, et que le dernier terme est entièrement connu.

387. Pour résoudre l'équation a^'^+j^x^^ y, on pose a?™=^, d'où Ton déduit aisément a;*"=^* ; substituant, il vient

jr^-^-py^q, et par suite j- = — - ± y 7- + 9 ;

or, de 0?""=^^, on tire x^ + l^J" <^u x= (/>, selon que m est un nombre pair ou impair (382), et en remplaçant j- par sa valeur

«-±^(-1+1/1+^), «r(-f il/fw);

la première formule résout l'équation proposée quand m est pair» et la seconde quand m est impair.

Discussion. Elle dépend visiblement de celles des équations à deux termes et des équations du second degré.

Supposons d'abord que m soit un nombre pair, auquel cas

x==+(/>; 1^ Il y aura quatre valeurs réelles, égales deux à deux et de signes contraires, si les valeurs de j- sont réelles et positives; 2° il n'y aura plus que deux valeurs réelles de signes différents, si l'une des valeurs de^ est positive et l'autre négative; 3** il n'en existera aucune, si les valeurs de j- sont toutes deux négatives ou imaginaires.

Dans l'hypothèse où m est un nombre impair, et où l'on a

a;=j/j-; !• Si j" a deux valeurs réelles, x a aussi deux valeurs réelles de même signe que celles de j-; 2^ il n'y a pas de racines réelles, lorsque les valeurs de ^ sont imaginaires.

IIL Toute racine de degré pair d'une quantité négative est de la forme p + qV^ — i.

388. La démonstration de ce théorème, qui a été annoncé dans le n^ 160, et en vertu duquel les quantités imaginaires de tous les degrés sont réductibles à celles du second, repose sur ce lemme :

La racine carrée d'une quantité imaginaire de la forme a-f-fc 1^ — I est encore de la même forme; ou, en d'autres termes, il existe toujours des valeurs réelles de k et de A, telles que

en effet, élevant au carré et observant que (K — 1)'= — i, il vient

équation qui ne peut subsister à moins qu'il n'y ait égalité entre les parties réelles et imaginaires des deux membres ; de là résultent

jfe«Aî=a, 2tAJ^~=6/"^ ou k'—h'=a, A«A«=-^;

ce qui apprend que Jc^ et — A* sont les racines d'une équation du second degré, dont le coefficient du second terme est — a et

le membre tout connu --^ (339), c'est-à-dire de

a?' — 00?=— r-, dou Ion tire a;=~= ! — ;

les deux valeurs de x sont toujours réelles et de signes différents ; la racine positive correspond à A*, la racine négative à — A', et Ton a

et, en tirant les valeurs de k et de A,

ce qui démontre le lemme énoncé.

Cela posé, si Ton fait a=o et 6 = i, auquel cas Texpression

Va-\-bV^ — I se réduit à Vy^ — i ou V— i, on trouve ainsi, V^ — i est de la forme a + i ^—T; donc V [^liri ou

\r — I est aussi de la même forme ; il en est pareillement de

^ 1^— I ou 1^— I, etc.; donc en général, toute racine de — i, dont Cindice est une puissance de 2, est de la forme a-\-bV~^^.

Actuellement, tout nombre pair, étant le produit d*un nombre impair multiplié par une certaine puissance de 2, peut être représenté par 2".i, et d'ailleurs, on a identiquement

désignant (/"a par + r, et remarquant que

r-i=:vr=7=r=T=a+6r^,

cette identité devient

J^— A=±R(a-f-6l/^— i)c:= + Ra+R6r^, et, en posant +Ra=p et Ri='g,

ce qu'il fallait démontrer.