II. Proportions par différence

396. On appelle proportion arithmétique ou par différence, ou bien encore, équi-différence, Tégalité de deux rapports par différence. Ainsi, soient a.b^=^r et c.d=r, les deux rapports égaux a.b eic.d constitueront une équi-différence.

397. Les deux rapports sont ordinairement séparés par deux points que Ton énonce comme, de sorte que a.b : c.d signifie a est a h comme c est à d, et équivaut à Téquation a — bt=^c — d.

398. On appelle i° premier et deuxième antécédent d'une équi-différence, le premier et le troisième terme; 2® premier et deuxième conséquent, le second et le quatrième terme; 3® pre-mier et deuxième extrême, le premier et le quatrième terme ; i^ premier et deuxième moyen, le deuxième et le troisième terme.

399. Dans toute équi-différence, la somme des extrêmes est égale à celle des moyens. En effet, Féqui-différence a.b : c.d peut se mettre sous la forme (397)

a — b^=iC — d,

équation d'où l'on tire, en changeant de membre les termes négatifs,

400. Réciproquement^ quatre quantités constituent une équi-différénce, lorsque la somme des extrêmes est égale à celle des moyens. En effet, soient a, b^ cet d quatre quantités liées par la relation

transportant b dans le premier membre et d dans le second, il vient

a— 6 = c — d, d'où (397), a.b : c.d.

Ainsi, les quatre nombres 5, 6, 9 et 10, étant tels que 5-|-io = 6-|-9, forment Téqui-différence 5.6:9.10. Il n'en est point de même des quatre autres nombres 2, 8, 9, 12, attendu que 2 -f- 12 est <:8+9. <

40i^ Problème. Trois termes d*une équi-différence étant donnés, déterminer le quatrième. Il peut arriver que le terme inconnu soit un extrême ou un moyen.

\° Si le terme inconnu est un extrême f on le détermine en retranchant l'extrême connu de la somme des moyens. En effet, de réqui-différence a.b : c.d, on tire a + d=fc-|-c, d'où

a=b'\-c — d et d=6-|-c--a.

2^ Si le terme inconnu est un mojren^ on le détermine en retranchant le. mojren connu de la somme des extrêmes. Car de réqui-différence a.b : (?.d, on déduit fc + c=a-{- d, d'où

i = a-f-d — c et c=a+rf — b.

402. Une équi-différence est dite continue quand les moyens sont égaux. Telle e&i a.b: b.c.

Souvent, pour abréger, on n'écrit qu'une seule fois le terme moyen, mais alors on fait précéder l'équi-différence de deux j!}om^5 séparés par un trait horizontal \ ainsi, -r a.b.c remplace a.i : 6.C, et s'énonce z, est à h est à c.

403. Dans toute équi-différence continue^ la somme des ex~ trêmes est double du terme moyen. En effet, de l'équi-différence

d'algèbre. â09

continue 4 a.b.Cy ou, ce qui revient au même, de a.b :b.c on tire a-f c = i-}"*» ^" ^^^° a + (î = 26.

404. Problème. Dewa? termes d'une équi-différence continue étant donnés, déterminer le troisième. Le terme inconnu peut être Tun des extrêmes ou le terme moyen.

i^ Si l'un des extrêmes est inconnu, on V obtient en retranchant l'extrême connu du double du terme mojren ; car, de réqui-différence continue -^ a.i.c, on déduit a + c = 26, d'oîi

a = ^b — c et c = 26— a.

2^ Si le mojren terme est inconnu, on l'obtient en prenant la demi-somme des extrêmes; car de ^ a. 6. c on lire 26=a+(?, et par suite

405. On appelle moyenne arithmétique entre deux quantités le moyen terme d'une équi-différence continue dont elles sont les extrêmes. Ainsi, dans -r a. 6. c, 6 est la moyenne entre a et c.

De cette définition et de la seconde partie du problème précédent, il résulte que la moyenne arithmétique entre deux quantités est égale à leur demi-somme, La moyenne entre 6 et i4,