I .2. . . oc — 1 J

Par exemple, la formule de décomposition établie pour p^u (n° 31) donne

(49) /p'Mû?M = -p'a-H — a-+- const.

36. Homogénéité. — Pour indiquer les valeurs des périodes ou des invariants, M. Weierstrass emploie les notations suivantes

oTm = a'(M|a), to') = o'Ca; ^i, ^3), pu = p{u\oi, ui') = p{u; ^2, ^3).

D'après le produit qui définit a'w, il est évident que si l'on multiplie (o, (o' et w par un même facteur jx, — ne change pas et

l'on a

(5o) a'(fjLM|fJLa), fjLto') = [xa'(M|u), 0)').

Différenliant par rapport à w, on a

(5i) c^'(iLu[uuiy fito') = ^'{u\(si, a>').

Donc

(52) Ç([iM|fia), [xo)') = -Ç(a|a>, a>').

Différentiant encore par rapport à u

(53) p(fiM|fiu), fiu)') = --p(a|a), o/),

ce qu'on vérifie d'ailleurs immédiatement sur la série donnant p. D'après les expressions de g2 et ^3 par des séries doubles (n^Sl)

quand on remplace (o et (o' par [xw et [xto', wp est remplacé par [jlw et ^2 et gz par ^ et ^« On a donc aussi

L'expression ^ est une fonction de (o et (o' qui ne change pas

quand on multiplie (o et (o' par un même facteur arbitraire [x; c'est une fonction du seul rapport des périodes.

37. Cas de dégénérescence. — Quand une des périodes est infinie, (o' par exemple, on a

m^txi^

eUcomme on a (n** 15)

Zànt^^Z^S' ZànT^" 33.5.7

il vient

1 / ic2 \î I / 7C« \a

Donc on a, dans ce cas,

Le poljnome 4 2' — g^^ — gz a alors une racine double, el rinlégrale

peut s'exprimer par des fonctions circulaires, comme il était prévu d'après les formules du n** 23. En calculant cette intégrale élémentaire, on retrouverait ainsi d'une autre manière les formules du n^ 23 (voyez l'exercice 1, p. 62).

Quand les deux périodes lo et w' sont infinies, on a g.2=gz = o et le polynôme sous le radical a une racine triple. L'intégrale devient alors

qui donne immédiatement

in. — Deuxième forme des fonctions elliptiques. Décomposition

EN facteurs. Conséquences.

38. Décomposition en facteurs. — Nous allons indiquer maintenant une deuxième forme sous laquelle on peut mettre toute fonction elliptique /(i^) et qui est analogue à la forme d'une fraction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur seraient décomposés en facteurs du premier degré.

Cette nouvelle forme résulte immédiatement des théorèmes pré-

cédents appliqués à la fonction ^ — ^*

Remarquons d'abord qu'une fonction elliptique a nécessairement un nombre limité de zéros dans un parallélogramme des périodes. Car, si elle en avait une infinité, il existerait à l'intérieur du parallélogramme au moins un point a dans le voisinage duquel

il y aurait une infinité de zéros; c'est ce qu'on verrait comme on l'a fait au n° 20 pour les pôles. Mais cela est impossible, car, la fonction /(m) n'ayant à distance finie d'autres singularités que des pôles, ses zéros sont nécessairement isolés (n** 7).

CeJa posé, soit une fonction elliptique f{u) ayant, dans un parallélogramme des périodes, les pôles ou infinis simples «i, «2? • • • î «r au nombre de r et les zéros simples 6|, 62? . . . , 6* au

nombre de s, La fonction — — ^ est une fonction elliptique régulière partout oxxfiii) n'est ni nul ni infini. Un zéro simple de /(m) est pour ^-^ — 7 un pôle simple de résidu i, et un pôle simple

de f{u) est pour '\. un pôle simple de résidu — i (n° 3).

On a donc, d'après la formule de décomposition en éléments simples,

jr—^ =c-+--(w-6,)H- ^{u — b^)+.,.-\- -(u--bs) (55) i -^

( — ~(a — ai)— -(a — aj)— .•— -("— «r),

OÙ -7 est la fonction î^. En outre, la somme des résidus de 4v— r relatifs à tous les pôles devant être nulle, on a

Donc : Dans un parallélogramme élémentaire le nombre des zéros d^ une fonction elliptique est égal au nombre des infinis. Ce nombre se nomme ordre de la fonction elliptique; nous reviendrons plus loin sur cette définition de l'ordre.

D'après ce théorème, faisons s=^r dans la formule (55) et intégrons terme à terme, puis passons des logarithmes aux nombres ; nous aurons la formule cherchée

(56) f{u) = a,cu^^^-^0^(^-^^)'"^(^-^r)

OÙ a est une nouvelle constante. Cette formule met en évidence les zéros et les infinis def(u).

Si la fonction /(?^) a des zéros ou des pôles multiples, 1

formule s'applique; il suffit de supposer que plusieurs des points 6|, 62? • • ' sont confondus en un seul, ou plusieurs des points a«, d*^ • • • • >

Dans la démonstration nous avons supposé que les points a^, «2, . . . , ctr] bi, 62, . . ., br sont situés dans un même parallélogramme. En modifiant convenablement les valeurs des constantes c et a on peut remplacer un ou plusieurs points a^ ou by par des points homologues. Par exemple, considérons le point

a\ = ai-h 2u>,

homologue de ai. En remplaçant dans la formule (22) a^ par d^ — 2 oj, on a

tfC a — ai ) = a'( a — a'i -h 20)) = — e«TQ(«-«',+w) a'( m — a',),

et, par suite

f(u) = a' ec'u <^iu-b,)<^{u-b^),,,<^(u-br) ^

avec

c' •= c — 2T), a' = — ae^fï^^'i- *^\

39. Théorème de Liouville. — Si Von considère les zéros et les infinis (Vune fonction elliptique situés dans un parallélogramme des périodes^ la somme des zéros ne diffère de la somme des infinis que par des multiples des périodes.

On démontre immédiatement ce théorème en écrivant que la fonction f{u) sous la forme (56) admet les deux périodes 2(o et 2 0)'. Comme on a

a'(M— a-f- 2 0))=— e2Yi(w-a-Ha))(3'(|^a),

1 f(U-\-1iù) ^ 1 \ y

on voit que le rapport - — j — - — - est égal a

Ce rapport devant être Tunité, on a

(57) 2 0(0 + 27) (ai H- «2 + - • •+^/- — bx — bi — , , ,— bj.) = imzij

« . tA, . T A /"( Z^ -h 2 to' )

im n est un entier. Ecrivant de même que ^ = i , on a

\' -\- ir^' {ax-\- ai-\- ,..-{- ap— bi — b^ — . . .— br) = — irmzi.

Éliminant c entre ces deux équations on a, en vertu de la rela-

TZl

tion 7^(1)' — ci)7i'= — que nous établirons plus loin,

(58) aiH-ajH-. . .-H ar — b^ — b^ — . . . — 6,.= 2/nw 4- a/ito';

ce qui démontre le théorème,

La valeur de la constante c est alors donnée par Tune ou l'autre des formules (67) ou (Sj').

Mais on peut simplifier un peu la formule en mettant à profit

une remarque faite plus haut. Remplaçons le point a^ par le point

homologue

La formule donnant /(m) prendra la forme où Ton a

Mais alors, en exprimant que f(u) admet les périodes 2(o et 2o>', on a, par un calcul analogue à celui que nous venons de faire,

2Gw = 2N7Cf, 2Gw' = — 2M7Ui,

M et N désignant des entiers. On en conclut

G(Ma)H-Na)')=o.

Le facteur Mw-f-Nto' ne peut pas être nul, car le rapport —7 est imaginaire et ne peut pas être égal à — -z^- Donc

On peut donc toujours mettre une fonction elliptique sous la forme

(60) . .^^ (^{u—bi)<f(u — bi)...(^{u — br)

avec la condition (Sg). On pourrait de même remplacer d'autres zéros et infinis par des points homologues : la formule resterait la même pourvu que la somme des zéros choisis égale celle des infinis.

40. Notations de Jacobi. — La formule de décomposition en facteurs s'écrit comme il suit dans les notations de Jacobi. La fonction H de Jacobi est liée à la fonction d par la relation

\\{u)=\\'{o)e ««^ s'a, d'où

Remplaçant alors (iu par cette expression dans la formule (60) et tenant compte de

«i -H a2-+-»--H- ^^•= ^i-H ^2-^-« ••+ ^n il vient

.^ . -, . .,\l(u — bx)\\( Il — b>,) . ..Wiu — hr) (01) /(w)=A^-= r—,. = -r- >

h! désignant une constante. On a donc, en définitive, la même formule fondamentale dans les deux systèmes de notations.

41. Deux fonctions elliptiques ayant les mômes zéros et les mômes infinis ne diffèrent que par un facteur constant. — Cela résulte des formules précédentes où le facteur A seul est arbitraire, une fois les zéros et les infinis donnés.

42. Ordre d'une fonction elliptique. — On appelle ordre d'une fonction elliptique le nombre de pôles qu'elle possède dans un parallélogramme élémentaire, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité. Ce nombre est aussi égal au nombre des zéros situés dans un parallélogramme (n° 38) :

Ainsi pu est du second ordre, p' u du troisième.

La fonction elliptique /( u) étant d'ordre r, la fonction f{u) — C, où C est une constante quelconque, est aussi d'ordre r, car les pôles de/(u) cl/{u) — C sont évidemment les mêmes. La fonction /(?^) — C a donc, dans un parallélogramme, r zéros quel que soit C. Ainsi l'équation

a toujours r racines dans un parallélogramme. La valeur mi-

5o CHAPITRE II.

nimum que puisse prendre r est 2, car d'après le théorème du n® 30 il n'existe pas de fonction elliptique du premier ordre.

Exemple. — La fonction pu est du second ordre. Dans un parallélogramme des périodes il existe deux valeurs de u telles que p M = G. L'une d'elles étant a, l'autre est homologue du point — a, car pu est paire. Ces deux racines sont distinctes tant que les deux points a et — a ne sont pas homologues, c'est-à-dire tant que l'on n'a pas

a = m tu -4- /i(o',

et G = p(ma) + nw').

Si les entiers m et n sont pairs tous deux, cette valeur de G est infinie : effectivement, l'équation pu = 00 a dans chaque parallélogramme une racine double.

Si un des entiers /n ou /i est impair, ou si tous deux le sont, G est fini : on trouve ainsi, à cause de la périodicité de p, trois valeurs différentes de G pour lesquelles l'équation pw — G = o a, dans chaque parallélogramme, une racine double. Ges valeurs sont les suivantes :

m impair, n pair, G = poj.

m pair, n impair, G = jdco'.

m et /i impairs, G =2 p{iù 4- to').

La racine double de pw — G = o est, dans le premier cas, congrue à (0, dans le second à w', dans le troisième à w -|- to'. Ges trois valeurs annulent la dérivée p'u : les valeurs correspondantes de G sont les trois racines du polynôme

comme nous le montrons plus loin (n® 46).

IV. — Exemples de décomposition en facteurs et en éléments simples. Formule d'addition algébrique pour pa. Conséquences.

43. Décomposer en facteurs la fonction doublement périodique où V est xme constante. — Dans un parallélogramme des périodes

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5l

pu admet o comme infini double. Donc la fonction admet deux zéros dans un parallélogramme des périodes; on voit que ce sont les homologues des points u= v el u=: — {> puisque p est paire. On a donc

pu — pv = X

A désignant une constante.

Cette constante se détermine en multipliant les deux membres par u'^ et en faisant ensuite tendre u vers zéro. Il vient

i = — Ao'^i;.

La décomposition est donc donnée par la formule

(6ï) pu-p.= ^j^^-^^

44. Formule d'addition pour Ç««. — Si Ton prend les dérivées logarithmiques des deux membres de l'égalité précédente, par rapport à M, il vient

(63) ^'^ =Ç(aH-i^)-hï("-^)— 2Cw; ^ ^ pu — pv

puis, en échangeant u et v,

(64) ^ = ^{u-^v)-ti{u — v)--'it^v;

\ -^y pu pç

enfin, en ajoutant membre à membre les deux égalités précédentes,

(65) I£:ii^^ = Ç(„^..);„Ç,,

^ ^ 'A pu — pv

formule que Ton obtiendrait également en décomposant en éléments simples les fonctions elliptiques de u qui figurent dans les premiers membres. La formule (65) peut être considérée comme une formule d'addition pour la fonction l^ii : seulement ce n'est pas une formule d'addition algébrique, car Ç(w-H(^) n'est pas une fonclion algébrique de Çw et ^p.

45. Formule d'addition de la fonction pu. — Si l'on différentie par rapport à u les deux membres de l'égalité précédente, on

trouve

c'est une formule d'addition algébrique pour pu. En y remplaçant,

après la dérivation, p'^u par sa valeur 6p^u — — (éq. Sg), on ob-

tient p( M 4- (^) en fonction rationnelle de p w, pi', p'u et pV. Si, ensuite, on y remplace p'u et p'v par leurs valeurs respectives en fonction de pw et pt^

on obtient p(M + i^) en fonction algébrique de pw et pv.

Autre forme de la formule d^ addition. — On a, en effectuant la différentiation (66),

1 pu — pv 2 {pu — pv)^

permutant 2^ et (> on a de même

2 pU — pV 1 {pU — pv)^

Ajoutons membre à membre et remarquons que

p''u-p''v={S{pUi^p^i^),

d'après l'équation (Sg), il vient

qui donne p{u-\- v) par une formule où la symétrie, par rapport aux deux lettres u et ç», est en évidence.

En différentiant par rapport à m et remplaçant p^' u par

6p-u — -^2j on a de même une formule d'addition pourp'(M-+-ç;),

exprimant cette fonction en fonction rationnelle de pw, p'w, ps?^ p'v. Une nouvelle différentiation donnera une formule d'addition pour p"; etc.