OC — I J

la somme S étant étendue à tous les pôles situés dans un parallélogramme, avec la condition

Ainsi, de même que toute fonction rationnelle est une combinaison linéaire à coefficients constants de termes de la forme

" » ', T. "> • • • > : rz >

avec la convention que u — 00 = —, toute fonction elliptique est,

à une constante additive près, une combinaison linéaire, à coefficients constants de termes de la forme

Z{ii~a), Z'(u — a), ..., Z(a-i^(a — a),

avec la condition que la somme des résidus [coefficients des termes

tels que Z(w — a)] est nulle.

Inversement toute fonction /{u), définie par une expression de

la forme (33), où

est une fonction elliptique, car on vérifie immédiatement les relations

f(u-^2(sj')—f(u) = (Ah-B4-...4-L)=o.

27. Formule de décomposition en éléments simples avec les notations de M. Weierstrass. — La formule (33) que nous venons d'établir peut s'écrire comme il suit. Nous avons posé

Z(u) = tu -II.

Donc, en différentiant et se reportant à la définition de pu comme la dérivée changée de signe de —

Z'(u) = — pu >

Faisant ce changement de notations, on a la formule

f{u) = 1^0-+- Xj ^ ^(^ — ^) "^ '^i P(^^ — ^) — ~~^P'i^ — ^) —'•

oùDq désigne une nouvelle constante et où la somme S est encore étendue à tous les pôles situés dans un même parallélogramme des périodes. Les termes linéaires en u qui semblent s'introduire

quand on remplace Z(w) par 'Çu ' w, disparaissent, car leur

coefficient est ^ (A-h B -j-. . .+ L), c'est-à-dire o.

28. Remarques. — Dans ces formules de décomposition nous avons supposé les pôles a, b, . . . , l situés dans un même parallélogramme. Cette restriction est inutile en ce sens qu'on peut toujours remplacer chacun des pôles par un point homologue. Ainsi soit

a' =z a -\-'ijn{si -\- in to'

un point homologue de a, on a

Z{u — a) = Z{u — a'-\- innù -\- irna'),

Remplaçant Z(m — a) par cette valeur, on voit que la formule reste la même. La seule valeur de la constante Co est modifiée.

Une autre remarque est celle-ci. Quand on fait choix d'un parallélogramme élémentaire P de sommets

il peut arriver qu'il y ait des pôles tels que a, par exemple, sur un côté et, par suite, d'autres pôles tels que a + aw' sur le côté opposé. On peut être embarrassé pour savoir quels sont ceux de ces pôles qu'il faut regarder comme étant dans le parallélogramme. Alors on remplacera le parallélogramme P par un autre tracé en

Fig. 3.

'o lO^

pointillé, obtenu en déplaçant infiniment peu le point Wo en Vq de façon à éviter qu'il y ait des pôles sur les côtés. La même remarque sera utile plus loin pour le cas où il y aurait des zéros sur des côtés.

29. Règle pratique pour la décomposition d'une fonction elliptique /(m) en éléments simples. — Il faut tout d'abord déterminer les pôles de cette fonction dans un parallélogramme des périodes, arbitrairement choisi d'ailleurs; soient a, i, . . ., / ces points.

Il faut ensuite déterminer la partie principale de f{u) relative à chacun de ces pôles. Supposons, par exemple, que le pôle u^=.a soit d'ordre a : alors le produit

est régulier et différent de zéro pour w = a. Si donc on développe ce produit, par la formule de Taylor, dans le voisinage de w = a,

^{u) = Aa-i-+- Aa-?(M — a) + Aa 3( w — a)2-f-. . . H- A(z^ — rt)«-i-+-(M — a)a^(M),

g(\i) étant une série entière en (w — a), ou a, en égalant ce dé-

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Sj

veloppement à {u — a)^f(u)el divisant par (u — a)^, le développement

j,, V A/y i A«v î Al A ^ .

/(") = / ^^-4ï -+- / M^TT -+-•••-+- 7 —Ti H H^ M),

•^ (m — rt)* (z^ — «)«-* (w — a;* u — a

qui met en évidence la partie principale cherchée. On peut alors écrire la formule de décomposition, quand on a fait ce calcul pour chacun des pôles situés dans le parallélogramme choisi. D'après une remarque que nous avons faite, on peut, dans ces calculs comme dans la formule finale de décomposition, remplacer chacun des pôles tels que a par un point homologue a -\- 2rrnù -{- ^ntù'. La principale difficulté pour la décomposition en éléments simples est la détermination des pôles a, 6, ...,/, de même que pour la décomposition d'une fraction rationnelle, la principale difficulté est de trouver les racines du dénominateur. Nous reviendrons sur ce point au n® oO.

30. Il ne peut pas exister de fonctions elliptiques ayant dans un parallélog^ramme un seul pôle, si ce pôle est du premier ordre. — En efiet, si la fonction /(u) n'avait qu'un pôle simple a de résidu A, la formule précédente (3i) donnant/(w) ne contiendrait qu'un terme AZ(w — a). Mais la somme des résidus étant nulle, on aurait A = o et /(u)= Cq. La fonction serait donc une constante et n'aurait pas de pôle.

Mais il existe des fonctions elliptiques ayant dans un parallélogramme deux pôles seulement, simples tous deux, u = a elu = l>. En effet, dans cette hypothèse, la formule (3i) comprend deux termes et l'on a A -i- B = o ; la fonction /{u) est alors

f(^u) = Co-hX[Z{u — a) — Z{u-'ù)],

Il existe aussi des fonctions elliptiques ayant dans un parallélogramme élémentaire un seul pôle, pourvu qu'il soit d'ordre supérieur au premier; le résidu relatif à ce pôle est nul. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour pu qui admet l'origine et les points homologues comme pôles doubles de résidus nuls.

D'une manière générale, les dérivées et les puissances positives de pu sont des fonctions elliptiques ayant dans chaque parallèle-

gramme un seul pôle homologue du point w = o; ce pôle est d'ordre supérieur à i et le résidu correspondant est nul.

31. Exemple. Décomposition de p^u en éléments simples. — La série qui définit pu montre que, dans le voisinage de m = o, on a

pu = — -l-G(a),

G(w) étant une fonction régulière au point o définie par la série {^) G(^^) = yT- ^—-- --1.

Comme G(w) est paire et s'annule manifestement pour m =: o, on a, en développant cette fonction en série de puissances dans le voisinage de w = o,

OÙ, conformément aux notations de M. Weierstrass, nous appe-

^ ^ 20 Jmk W* 28 Jmk W^

Ions — et ^ les deux premiers coefficients

Ces expressions de g^ et g^ s'obtiennent immédiatement en développant chaque terme de la série (35) suivant les puissances ascendantes de m, par la formule

puis en ordonnant la somme par rapport aux puissances ascendantes de u.

On a donc, dans le voisinage de w = o,

37) pa= -^-f-^'w2-h^a*-4-...,

et en élevant au carré

u* 10 14 Considérons un parallélogramme des périodes entourant le

GENERALITES SLR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3g

point u = o; dans ce parallélogramme p^u a, comme seul pôle, u = o] ce pôle est d'ordre 4 et la partie principale correspondante est — > d'après le développement ci-dessus. Dans la formule

de décomposition en éléments simples (34) il faudrait donc prendre un seul pôle a = o, puis a = 4î A = A| = A2=o, A 3= 1. On a alors

(38) pui = Do -h ^yu,

Dq désignant une constante.

Il est d'ailleurs aisé de vérifier directement cette formule. D'après le développement de pu on a, en différentiant,

Donc la différence

4>(a) = p2a— -pV

est régulière au point a = o, car, dans le second membre les

termes en- disparaissent. La fonction ^{u) est donc régulière

dans tout le parallélogramme élémentaire considéré (contenant l'origine), et, comme elle admet les deux périodes 2(o et 2 0)', elle est égale à une constante Dq.

La formule (38) est ainsi vérifiée. Pour déterminer la constante, on donnera à u une valeur particulière. D'après les développements de p^ et de p", on a, dans le voisinage de a = o,

d'où en faisant w = o, Do= —• On a ainsi la formule

On formera de même, à titre d'exercice, les expressions de p^ u, p^ Uj ... en fonctions linéaires de p, p', p'', . . . par la for-

mule de décomposition en éléments simples. Ces expressions se tirent aussi des formules obtenues en différentiant la relation (89) un nombre quelconque de fois et tenant compte de la relation que nous allons établir entre p et p'.

32. Relation algébrique entre pu et sa, dérivée p'u. — Multiplions les deux membres de la relation (89) par p' u et intégrons par rapport à u, nous obtiendrons une formule qu'on peut écrire

où G désigne une constante.

Pour déterminer cette constante, on remplacera encore p, p' par leurs développements en série donnés plus haut : on vérifiera

que les termes en - disparaissent, et en faisant ensuite w ^ o, on

trouvera C = — ^3 . On a donc la relation

(4o) p''=4p'— ^ïP — (?3,

algébrique en p et p'.

Cette formule donne la dérivée de la fonction inverse de pu.

Faisons

d'où l'on tire, en imaginant l'équation résolue par rapport à w,

Il = argpz,

c'est-à-dire u égale l'argument dont le p est z. La formule (4o) donne alors

La dérivée de u par rapport à z est donc algébrique en ^, tout comme la dérivée de arc sin>s.

Comme z est infini quand u est nul, on a

formule permettant de calculer u en fonction de z.

33. Développements en séries de puissances de pu, l^u, (^u. — Les constantes g2 et g^ s'appellent les deux invariants. Ces constantes étant connues, on a, comme il suit, les développements en séries de p, Ç, d.

Faisons, dans le voisinage de w = o,

(42) pw = -5 -f- ît- H- Cj w* -h C3 a* -f- . . .-+-cxM*^~'-+-

Les deux premiers coefficients sont

Les suivants se calculent facilement par voie récurrente en substituant le développement de p dans l'équation

et identifiant les deux membres. On trouve ainsi, pour \ plus grand que 3, la formule récurrente

qui montre que tous les coefficients sont des polynômes en g^ et ^3. Ainsi

(^^) ^*-5rTT2' ^^-2*.5.7.ii*

Le développement de X^u pour de petites valeurs de u se tire immédiatement du précédent par une intégration, puisque î^M=: — fpudu] on a donc

(46) Çw= — h^ — ^C2W^— ^CsaS-h...,

sans ajouter de constante, car Çw est une fonction impaire. Les coefficients de ce développement sont aussi des polynômes en g2

etgz-

Les deux développements de p et J^ convergent dans le cercle

ayant pour centre l'origine et ne contenant dans son intérieur

aucun point homologue de l'origine.

Du développement de Ç on déduit celui de (^ puisque

= Çw.

Intégrant et passant des logarithmes aux nombres, on a

(^u=ue »» ^'^ ,

sans mettre de constante en facteur, car — tend vers i quand ii

tend vers zéro. Il ne reste plus qu'à développer l'exponentielle en série et l'on a le développement de du. On voit que les coefficients de ce développement sont aussi des polynômes entiers an g2 Qi gz' Voici les premiers termes du développement

KM) crw-M-h^ ^^^^^ '2^3.5.7""29.32.5.7 «i^S^ô^y.! i •"•

On trouvera ce développement poussé jusqu'à m^^ dans les feuilles de M. Schwarz (^Formules et propositions pour V emploi des fonctions elliptiques). Puisque du est une fonction entière comme sina, régulière dans tout le plan, ce développement de c^w est convergent pour toutes les valeurs de u. Ce développement est commode pour le calcul des valeurs numériques de du^ d' u^ d'^ u et, par suite, de Ç et p qui s'expriment rationnellement à l'aide des dérivées de d

^ <^' u ^, <s'^ii— du(^" u

nu = —, p«=-ç« = — — — .

34. Inversion dans les notations de M. Weierstrass. — D'après ces propriétés, si l'on a une équation de la forme

OÙ g2 et gz sont des constantes données, on en conclut

z = pu = ï >

z est donc exprimé en fonction uniforme de m, et l'on peut, à l'aide des séries précédentes, calculer la valeur de z correspondant à une

valeur de u\ mais ces séries ont le défaut de ne mettre aucune périodicité en évidence. On a ainsi une solution du problème de l'inversion de l'intégrale (48). Les constantes g2 et g^ peuvent avoir des valeurs quelconques, car l'équation

est vérifiée identiquement par les développements en série cidessus, quels que soient g2 et ^3.

Nous verrons plus loin comment, g2 et gz étant donnés, on peut calculer un couple de périodes 2(o et 2(0'.

35. Intégration d'une fonction elliptique. — Pour calculer l'intégrale

j f{u)du

d'une fonction elliptique /(u), on fait comme pour les fonctions rationnelles : on décompose /{u) en éléments simples et l'on intègre terme à terme. Ainsi, dans les notations de M. Weierstrass, /{u) peut se mettre sous la forme (34). En intégrant, on a