Décomposition de p'u en facteurs. — La fonction p' u s

dans un parallélogramme élémentaire, un pôle triple qui est le point w = o, ou un point homologue. Cette fonction est donc de troisième ordre. Elle a, dans un parallélogramme, trois zéros que nous allons déterminer. Pour cela, partons des relations

Faisant dans la première de ces formules u:= — w, on a

comme d'autre part p' est impaire,

Donc p'(ci))= o. De même p'{(ù')=o.

Enfin, en faisant dans la troisième formule u= — w — w', on voit que p'(a) + (o')= o. Prenons un parallélogramme élémentaire

Fig. 4.

très voisin de celui dont les sommets sont o, aw, 2o>', 20) + aw' et contenant o dans son intérieur. Alors, dans ce parallélogramme tracé en traits pleins, la fonction a le pôle triple o et trois zéros nécessairement simples w, o>', w + to'. La somme des zéros 2 w + 2 w' ne dilTère de la somme des infinis qui est o que par des multiples de périodes.

Remplaçons le zéro w + to' par son homologue — w — w'; alors la somme des trois zéros w, w', — w — w' est égale à la somme des trois infinis qui est nulle et Ton a

, . (^(11 — M^cïiu — 0)') 3'(^^ -h to -h 0)") p' w = A .

Pour déterminer A, on peut multiplier les deux membres par u^

puis faire tendre u vers o. Comme dans le voisinage de o on a

p' U = '- -\- fonction régulière,

le premier membre devient — 2; comme — tend vers i, lèse-

cond membre devient

A 3*0) S'a)' a* (w -h O)') et l'on a

^bi c'a)' <^{u}-{-tsi')^^u

Voici quelques conséquences des résultats précédents. Nous avons établi la relation

Appelons ei, <?2i ^3 les racines du polynôme 4^'— ^^a^ — ^3? alors

(68) p'^u = i(pu — ei)(pu — e2)(pu^e3).

Comme p'u s'annule pour u = (i>, u=:(ù-\-to', m = w', les quantités e< , ^i, e., sont égales à pw, p{iù ^- w'), pw',

(69) ^i = pto, e2=p(a)-ha)'), 63= pw'.

Il est évident, d'après la formule (68) qui donne p'^M, que le second membre de cette formule est le carré d'une fonction uniforme : nous vérifions plus loin (n® 48) que chacune des différences pu — Ci^ pu — ^2, pu — ^3 est le carré d'une fonction uniforme.

47. Effet de l'addition d'une demi-période à l'argument de pu, — Dans la formule d'addition (67) faisons (^= to, en remarquant quep(i) = e<, p'(i) = oet en tenant compte de l'expression (68) de p'2. Nous obtenons

r.r,/-i-i.\ ^ (gl~g2)(gl — ga)

pu — ei

De même, en faisant dans la formule d'addition p = w 4- o>' ou

i^ = co', on trouve

P( M 4- tO -t- W ) — gj= *

pu — et

48. Expressions de p a — gx- Fonctions a*!, s*,, (Ta- — Dans la formule (62) établie plus haut

DM — ps? = ^ — — . r

faisons v = (o, nous aurons

a'(M-i- 0)) o'Ca — w)

pw — po) = —

mais, d'après les propriétés de la fonction c^, on a

^(if-h 0))=— gî^" 3'(W — W),

comme on le voit en changeant dans la première des formules (22) u en u — (0. On a donc

On trouve de même

(70) pw — pa)'= e»^»*— r -— /•

Enfin, dans la relation (62) faisons (> := w -f- w' ; il vient

PW-p(w-+-a>') = ^ ^2 ,.^2/ \ '^ -'

OU d'après la formule (23), dans laquelle on change u en u — w — o>',

(71) Pe^-p(c. + co') = g2(tl^ri').J!li^I^

Les trois différences considérées sont donc bien les carrés de fonctions uniformes. M. Weierstrass emploie une notation

spéciale pour désigner ces trois fonctions. 11 fait

^^l" ^(lO — II)

O'iM =

(/*) {<^iU = ; ,

C^iU=:

e^>a'Cw'— u)

s'a)' Avec ces notations, on a

ox /<5'iM\2 /3'îW\« /^3U\

73) pa.,= ^j, pu^e,= ( — ), pa-.3=( — j

(74) P»=-2 jj^^ ;

le signe à prendre en extrayant la racine est — , comme on le voit en multipliant les deux membres par u^ et faisant tendre u vers zéro. On retrouve ainsi, aux notations près, la formule établie directement dans le numéro précédent pour la décomposition de p'u en fadeurs.

49. Toute fonction elliptique /(u) aux périodes iiaei ita' est une fonction rationnelle de pe^ et p'u. — Nous établirons ce théorème comme une conséquence du théorème d'addition et de la formule de décomposition en éléments simples

la somme étant étendue à tous les pôles. Tout d'abord la formule d'addition pour pu (n° 45) montre que p{u — a) est une fonction rationnelle de pw et jd'm. En différentiant cette formule on voit que p'{u — a) est une fonction rationnelle de pu, p'u et plUi\ mais, comme

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5y

p'(u — a) est une fonction rationnelle de p m et p'u. On voit de même, en différentiant de proche en proche, que p"{u — a), . . . , p(a-2) ^^ — ^^ sont des fonctions rationnelles depuel p'u. Restent les termes tels que Ç(m — a), La formule d'addition pour la fonction ^ (n^ 44) dans laquelle on remplace v par — a donne

î(a — a)= Ci* — ÇaH- - ^ ^-— ;

1 pu — pa

on a de même ^{u — 6), . . . , Ç(w — /). Si Ton porte ces valeurs dans la formule de décomposition en éléments simples, on voit que, dans la somme

(75) AÇ(£« — a) + BÇ(M — è)-t-...-hLÇ(a — /),

étendue à tous les pôles, le terme en ^u disparaît à cause de la relation A + B4-...-f-L = oet la somme (76) est une fonction rationnelle de p w et p' u.

Le théorème est donc démontré.

Remarque, — Comme on a

on peut, dans une expression rationnelle enp etp', éliminer toutes les puissances de p' supérieures à la première en remplaçant toutes les puissances paires de p' par des polynômes en p. On met ainsi toute fonction rationnelle de p et p' sous la forme

^{p)-^p'Q(p) Pi(p)-+-p'Qi(p)'

où p, Q, P|, Qi sont des polynômes entiers en p.

Multipliant et divisant cette expression par P|(p) — p'Qi(p) et remplaçant p'^ par sa valeur en fonction de p, on voit que toute fonction rationnelle de p et p', c'est-à-dire toute fonction elliptique peut se mettre sous la forme

R et R< étant des fonctions rationnelles. Il en résulte

/(-w) = R(p)-p'R,(p), car p' est impair.

En particulier, si f{u) est une fonction paire, /( — u) doit être égal à/(w) et R| (p) identiquement nul. Alors

Si/(w) est impaire, /(— u) doit être égal à —/(m) et R(p) identiquement nul. Alors

/(a) = p'Ri(p).

Ainsi une fonction elliptique paire est une fonction rationnelle de pw; et une fonction elliptique impaire est égale à une fonction rationnelle àe pu multipliée par p' u.

Par exemple, p(2m), p(3m), ..., p(/iM)(/i entier) s'expriment rationnellement en fonction de pu. On a ainsi des formules analogues à celles de la multiplication des arcs en Trigonométrie, que le lecteur établira sans peine par l'application répétée de la formule d'addition.

De même p' {nu) est égal k p'u multiplié par une fonction rationnelle de pu.

50. Remarque sur l'intégration d'une fonction elliptique supposée mise sous la forme d'ime fonction rationnelle de p et p'. — Soit la fonction

/(u) = R(pu)-hp'uKi(pu),

où, comme précédemment, R et R, désignent des fonctions rationnelles de pu. On aura

I f{u)du = j R(pu)du -^ I p'u Ki(pu)du.

La deuxième intégrale du second membre se ramène immédiatement à l'intégrale d'une fonction rationnelle, car si l'on fait pu = z elle devient

Ri(^) dz;

on sait calculer cette intégrale. Pour obtenir la première intégrale du second membre, on commencera par décomposer la fonction rationnelle R de pw en fractions simples, en considérant pu

gëxeralitës sur les fonctions elliptiques. 59

comme la variable

A A, Aï B

pu — a {pu — a;* {pu — a)* pu — p

Cqj C\ ^ • • • . Cy* A.J x\.| ^ -^2) * * * 7 "^7 * * * 1 ^9 P; • • • étant oes con-* s tan tes. L'intégrale de la partie entière en pw s'obtient aisément, car on sait (n® 31) exprimer p^u^ p^u, . . ., p^u en fonctions linéaires à coefficients constants de pw et de ses dérivées p'u^ p"Uj . . . , de sorte que cette partie entière s'écrit

Co-H Cip u -^ Cip' u -^ C^p" u -^ . . .;

son intégrale est immédiatement

CqU — GiÇm -t- Cipu -+- C^p'u -4-. . ..

Les intégrales des termes suivants s'obtiennent aussi en décomposant ces termes en éléments simples. Pour cela on détermine d'abord des constantes a, 6, . . . telles que

pa = a, p6 = p,

Nous avons donné (n** 44, formule 64) la décomposition en éléments simples de — ~ : nous écrirons cette formule

^ pu^pv

On en conclut, en changeant v en a,

/du I r, (^(u — a) ^ 1

pu — pa p^L a'(aH-a) J

DifTérentiant ensuite la formule (76) par rapport à ^ et divisant par pV, on en tire la formule de décomposition en éléments

simples pour- — : difierentiant cette nouvelle formule par

r r {pu^pv)^' ^

rapport à v on en lire de même la décomposition en éléments simples de 7 -9 • • • et ainsi de suite. Dans ces formules on

fera v = a et l'on en déduira immédiatement les intégrales

/ du r du

{pu — paY^J {pu^pa)^' ""

6o CHAPITRE II.

51. Entre deux fonctions elliptiques f{u) et fi{u) aux mômes périodes existe une relation algébrique. — En eflet, si l'on fail

X=fiu), Y=/,(w),

X et Y sonl, d'après le théorème du n" 49, des fonctions rationnelles

(77) X = R(p,p'). Y=Ri(p,p'),

des quantités pu el p' u liées par la relation

(78) p'* u = 4p3 u — gtPU — gs.

L'élimination de p et p' entre les relations (77) et (78) donne évidemment une relation algébrique entre X et Y

La courbe (C) définie par cette équation est, en général, du premier genre. C'est ainsi que si l'on fait

30 = pu, y = p'ii^

on a entre ^ et^ la relation

définissant une cubique (c) sans point double, sauf dans le cas de dégénérescence. Les coordonnées X et Y d'un point de la courbe (C) sont des fonctions rationnelles des coordonnées x eiy d'un point de la cubique (c).

On peut, en général, indiquer le degré de la relation entre X et Y. Si f{u) est d'ordre /• et f{{u) d'ordre Ti, la relation F(X, Y) = o est de degré r^ en X et de degré r en Y.

En effet, X étant donné, la formule

donne, pour m, r valeurs dans un parallélogramme ; à chacune de ces r valeurs, la formule

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUKS. 6l

fait correspondre une seule valeur de Y. Donc à une valeur de X correspondent r valeurs de Y et Téqualion F(X, Y) = o est de degré /* en Y. On voit de même qu'elle est de degré r^ en X.

Par exemple pu est du second ordre, p' u du troisième ; aussi la relation algébrique entre ces deux fonctions est du second degré en p' et du troisième en p, ,

52. Toute fonction elliptique /( u) admet un théorème d addition

algébrique. — En effet f{u) est une fonction rationnelle àe pu

et p' u

/(u)= R(pM, p'u).

De même

Formant ensuite /(u -H v) qui est une fonction rationnelle de p(u 4- ^) et p'{u + (^), et exprimant p{u -h i>) et p'{u 4- ^) en fonction de pu, p(^, p' u, p'{> par les formules d'addition, on voit qiie/(u-{'V) est une fonction rationnelle de pu, pç, p' u, p'r

D'ailleurs

/(M-hi>)= Ri(pu,pv,p'u, p'v).

p'Ul = i^p'^U — gipU— ^3,

L'élimination de pu, pv, pu, p'v entre les cinq équations précédentes fournira une relation algébrique entre /(u -\- (^), f{u) el/h).

La réciproque de ce théorème est vraie en ce sens que : Toute fonction anal)' tique uniforme transcendante qui a un théorème d'addition algébrique est nécessairement une fonction simplement ou doublement périodique. Nous nous bornons à énoncer cette proposition, dont la démonstration nous entraînerait en dehors du cadre de cet Ouvrage.

1. Démontrer les formules suivantes que nous empruntons aux /'ormu/e; et propositions pour l'emploi des fonctions elliptiques, d'après les Leçons de Weierstrass, rédigées par M. Schwarz, traduites par M. Padé.

Dégénérescence. — Quand (u'= », (o étant fini et différent de zéro, on a

9£> (I) p« = ( — 1 : ( — ) = -^JL=r^ - ^,

„ = (jlY 1 - / — V= ^'

\ —— = col h ^ ( I M, 2X^0) =

= COt h^( 1 M,

1 /MTt \«

- ( STT ) 2 0) . W TT

On le démontrera en rapprochant les formules des n°* 23 et 37. Formules d^ addition pour pu et conséquences.

^-^ '^^ ^ *^ 2 0'M\p«^ — pV / 1 Oi' \ pu pi? /

(^) =P'* • .W.w,no^^

•2(p«^ — pi>)^

(6p'i^ — {^2)(pw — pt')-+-4p't^--^2pt^ — ^aq^p'wp^-

l{pUpV'-lgi)(pU-hpi')-g3ipp'up'v

2(p w pt' — i ^2)(p w -f- pi^)— ^..^ ifc p'm p'r

p(wiht^) 2{pupv-\-\g.i)i-]-ig3(pu-hpv)

. , . '^(pupv — \g.)i,pu-\'pv)—g^

(8) ='^PW— ^ïog(pw — p(.)=2pp-— log(pie — pt

; (lo) p{u-hv)p{u — v)

p'(uzhv):

pv)

{^pu — py ) ^"' ^^

(pupv-\-\^iy-hgApu

ipu — pv)^

(II

iKP^ — pf^r ^

L(p«— p^)' 2 (pw — pp)«J^^*

f (la) 4[p(w)H-p(i')-Hp(M

■■ Vpw — p^/ LpC'*

pU—pV~ P(WH- t'}— P(^)

P(mh-p}— pC^^)

pu pi>

p'w pV

■^SPM

^""^ Jiiî^^^p'"-

Par l'intégration on déduit de la dernière formule

c^'(2u) (y' Il r p"u — ^ 1 = ^ [- — ?

<^{'àu) cfu ^ p' u

(fiiu)

Cf(lU)= 0**^ ;t^