Le déterminant

r pw p M I pv p'v I pw p'w

où u, Vy w sont trois variables indépendantes, a pour valeur

(j(v — w)(3'(iV — u)'^{u — v) (^(u-^ V -\- w)

Pour le démontrer remarquons que ce déterminant, considéré comme une fonction de m, est une fonction elliptique d'ordre 3 ayant le pôle triple M = o et les points homologues. Cette fonction a manifestement les zéros V et (j^, car si l'on fait u = ç ou u = w deux lignes sont identiques. Le troisième zéro de la fonction est donc homologue du point — {v -i- w), car la somme des zéros ne diffère de la somme des infinis, qui est nulle, que

par des multiples des périodes. On a donc

G désignant une constante indépendante de u. Pour la déterminer on multipliera par a' et l'on fera a = o. Le produit w'A tend alors vers 2(pc — P^)j et le second membre tend vers

Donc

pç^pw

a'p a'iv (^{i^ -h w)

Décomposant alors pv — pw en facteurs (n° 43) on a la valeur de G et Ton obtient la formule indiquée (*).