Fonctions «r,, <r,, o*,. — Les équations
définissent les trois racines carrées en fonctions uniformes de u. Si Ton donne successivement à la variable u les valeurs
U), = 0), (i)j = W -I- w' = tO*, 0)3 = 0)',
on obtient les équations
> 0*210 rf«3'0i' / O'sW e-VW3'(u'
0*10 o'oi j'w* 0*0) a'o)a'o>'
o'oi' o'oio'o)'' '^ "^ "• ^w' 3'o)'a'ai''
a'sw'
C^jO)'
par lesquelles sont déterminées sans ambiguïté les valeurs des six racines
carrées. Dans l'hypothèse que le coefficient de i dans — est positif, on a, entre ces radicaux, les relations
/es — «2 = — i yei — e^, (3) { /e3— 61 = — i^ei — ez,
y €2 — €i=z — iyei — e^.
(*) Voyez, pour des formules de ce genre, Hermite, Journal de Crelle, t. 84.
Relations entre les carrés des fonctions a*, 0*1, o^j, ^3. — Les relations
pw — ex=^::^ (X = i,2,3)
donnent, par Télimination de pu, les formules
0*1 a — ^\u -i-(ei — e8)<3''w = o,
a\u — <^\u-\'{ez — ei)3'' w = 0,
(^\u — 5*1 w-t-(ei — ei)3'«a = o,
(«2 — e^) ^\u -^-{ez—' ex) ^\u -{-{e\ — ^j)a'J a = o.
Dijfférentiations des quotients de fonctions a*. — L'équation
, cTxmCmWO'vW (i) pw= — 2 ^-
donne pour les fonctions
, . s'a ^^u ^lu
3^XW ^yU ^u
les équations différentielles suivantes
d a'w o'jxM cp'vW
d '^u.u (fiu cf u d <^\u ^u.u (^yU
du ciyfU ~ ^ ^ 0*7 a c'y w du du (^u eu
Exemples de décompositions en éléments simples.
1 p' u <^\u du d . d\u
2 p w — ex 3'x u du du ^ du
2 (pw — eji.)(pa — ev) o'jj.a 3'vW ^/w °a'va'
C) = -5- = lOff <TX W,
p M — e\ ' du d\u du^ °
4. Soit cp(M) une fonction elliptique du second ordre aux périodes 2 tu et 2(o'. Si cette fonction admet, dans un parallélogramme des périodes, un
seul pôle double M = a avec la partie principale - — — - — -, sa dérivée
^'(w) admet dans un parallélogramme les trois zéros a = a -+- o), p = aH-a)', Y = a H- U) H- U)' et l'on a
Ces théorèmes se démontrent soit en exprimant (p(u) à Taide de pu
cp(a)=Ap(M — a)-+-B,
soit en remarquant que
cp(2a — M) = <p(a), d'où, en différentiant,
<p'(2a — w) = — cp'(a);
relation qui montre que cp'(M) s'annule pour m = a, m = p, m = Y> car elle donne, par exemple, cp'(a) = — «?'(«)•
Si (p(u) a, dans un parallélogramme, deux pôles simples a et 6 de résidus A et — A, ^'{u) admet dans un parallélogramme quatre zéros
et l'on a
11^ == h w , ^4 = h w H- eu ,
On le démontrera en établissant la relation
cp(a-i-6 — u)= (f{u) et, par différentiation,
5. Démontrer que Ton a, quels que soient les arguments a, b, c, ûf, la
relation
a'(a-+- ^»)3'(a — 6)3'(c-f- d)cf{c — d)
désignée quelquefois sous le nom adéquation à trois termes. — Elle résulte de l'identité
où Ton fait
A = pa, B=pb, G=pc, D = pd
et de la formule
(S'en -h- v) cf(u — v) pu — p (' = — ^^ •
6. Démontrer qu'il existe une relation linéaire et homogène entre les
fonctions
c'(M-h a) a'(w — a), a'(aH- 6)3'(m — ^), cf(u-h c)cf(u — c).
La fonction
P :f( Il -^ h) '^(n — b) -^ Qcfju -h c) '^(u — c) (^{u-\- a) (^{u — a)
est une fonction doublement périodique ayant deux pôles dans un parallélogramme des périodes; on peut déterminer le rapport des constantes P et Q de façon que le numérateur s'annule pour u = a; P et Q étant ainsi déterminés, la fonction se réduit à une constante. On retrouve ainsi la relation précédente.
►Ox^
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE p m LORSQUE w EST RÉEL ET w' PUREMENT IMAGINAIRE. APPLICATIONS.
51. Dans la théorie générale que nous venons d'exposer, les périodes 2co et 2co' sont des constantes imaginaires quelconques, assujetties à la seule condition que leur rapport soit imaginaire. Un cas particulier des plus importants, qui se présente fréquemment dans les applications, est le cas où l'une des périodes âco est réelle et l'autre aco' purement imaginaire, c'est-à-dire égale au produit de i par un nombre réel. Comme on peut toujours changer le signe des périodes, on peut prendre 2 co positif, alors 2 co'
étant supposé purement imaginaire, —7- sera positif aussi, car
lu'
nous avons fait la convention que, dans le rapport — > le coefficient
de / est positif.
C'est ce cas que nous allons examiner en détail, pour faire ensuite quelques applications géométriques et mécaniques. Pour que ce cas se présente, il faut et il suffit que les racines ^i, 62, e^ soient réelles.
I. — Valeurs réelles de dm quand to et -7- sont réels et positifs.
52. Les invariants ^2 et g 3 sont alors réels. — Si l'on suppose co et -r réels et positifs, les invariants
(l) J° Jmà W* ^ ^ J^ w^
cv = 2mto -t- 2/îto',
sont réels. En eff*et, à toute valeur imaginaire de w correspond pour \rV une valeur imaginaire conjuguée, puisqu'en changeant le
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pU, 69
signe de n on change le signe du coefficient de i. Dans chacune des séries précédentes, les termes qui correspondent à deux valeurs imaginaires conjuguées de w ont une somme réelle : on en conclut que g2 et ^3 sont réels.
53^ Valeurs réelles de l'arg^ument. — En raisonnant de même pour chacune des séries
où l'on suppose u réel, on reconnaît que pu et p'u sont réelles
quand l'argument u est réel.
Les valeurs de u qui rendent la dérivée nulle ou infinie sont de
la forme
/ni(o -4- /iito',
m, et n, étant des nombres entiers.
1** Lorsque u croît de o à co par valeurs réelles, p'u varie d'une manière continue et ne change pas de signe; pour u positif et très petit p'u est très grande, en valeur absolue, et négative puisque sa valeur principale est
pour M = (0, p'u s'annule.
Donc, quand u croît de o à (o, la dérivée est constamment négative, et elle passe par toute valeur négative; la fonction pu décroît constamment depuis +00 jusqu'à po) = ei . Cette valeur e< est réelle.
L'équation
montre alors que u croissant de o à (o, c'est-à-dire pu décroissant de 00 à ^r, le polynôme ip^u — g^pu — gz ne s'annule que pour U'=iù c'est-à-dire pour pu = et. Le polynôme 4^* — §2^ — ^3 n'a donc pas de racine réelle supérieure k e^ : la plus grande racine de ce polynôme est la valeur que prend p m, quand u égale la demi-période réelle.
L'argument u variant toujours de o à (o, p' w est négatif, et l'on a,
en extrayant la racine,
ou, en posant x = pu,
dx
du=^—'
V^4a7»— ^ja? — ^3
Comme a: décroît de oo à ei quand u croît de o à co, on a, en intégrant par rapport à e^ de o à co et par rapport à ^ de oo à ei , par valeurs réelles,
to =
2^ Supposons maintenant que 2^ est réel mais n'est plus compris entre o et (o. Les égalités
montrent d'abord que, quand m varie entre — co et o, pw est réel et plus grande que e\^ p' u est positive et prend toutes les valeurs positives.
On peut toujours ramener un argument réel à être compris entre — co et (o, en retranchant de cet argument un multiple de la période 2 w ; les résultats précédents s'énoncent ainsi :
Quand l'argument u est réel la fonction pu et sa dérivée p u sont réelles. La valeur de pu est plus grande que e^ et le signe de p'u est celui de ( — i)'"+*, si Von a
/na><M<(/?n-i)to,
m étant un nombre entier.
54. Argument purement imaginaire. — Quand l'argument u est purement imaginaire, la fonction pu est réelle et p' u purement imaginaire. C'est ce qu'on voit immédiatement en se reportant aux séries. En effet, si l'on fait u = jV, en supposant {> réel, la série pu donne
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pU. ni
Dans cette dernière série iVv = 2mico4- am'/w'; elle définit donc, au signe près, la fonction p{^) construite avec les périodes iw' et /co, ou avec les périodes — «co' et iw, car on peut changer le signe d'une des périodes. On a donc
(2) p(tV|to, a>') =— p ( (^ -r, twj.
La fonction p(îV|ci), w'), où l'argument est purement imaginaire, est ainsi ramenée à une autre fonction p à argument réel {>,
construite avec les périodes — et iw dont la première est encore
réelle et la seconde />wre/we/i^ imaginaire avec un coefficient de / positif. Donc, quand u est purement imaginaire, p{u) est réelle. Cette formule (2) est un cas particulier des formules d'homogénéité établies au n° 36 : on l'obtiendrait en prenant (jl = i.
Les nouveaux invariants relatifs aux nouvelles périodes -:- et itù
se déduisent des expressions (1) en y remplaçant w par i{v\ ils sont donc égaux k g^ el à — g^. On peut donc écrire aussi
Si l'on prend les dérivées par rapport à v dans les relations (2) et (3) on a
p'(iV|w, a>')=: ip'lv j, ta)j, P'(**^;^2, ^3)= i?'{^\ ^2, —^3).
Donc, quand u est purement imaginaire, p'{u) est purement imaginaire.
La fonction ^^jd((^ -^^ {ù\=p{y\ g2^ — ^3) vérifie l'équation
le polynôme en y qui est dans le second membre admet pour racines — e<, — ^2? — ^3- D'après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, quand v varie par valeurs réelles de o à la
demi-période réelle — ? la nouvelle fonction p((^) décroît constamment par valeurs réelles de oo àp( -;- — > ïw j qui est la plus grande
racine — e^ du polynôme 4^' — g2y -h gi» L'on a de plus
Donc, quand a = w varie par valeurs purement imaginaires
de oàco', la fonction a:=p(w| Cl), co'), qui est égale à — J>( ^ -=■» 'w)i
. cro// constamment par valeurs réelles de — oo à p(co'|co, co'), c'est-à-dire de — oo à la plus petite racine e^ du polynôme
D'une façon générale, en appliquant à la fonction p ( ^ — > w ) et
à sa dérivée ce que nous avons vu dans le numéro précédent, pour un argument réel, on a le résultat suivant :
Quand ^argument u est purement imaginaire, la fonction pu est réelle etplu est purement imaginaire, la valeur de
la/onction pu est négative et toujours inférieure à e^ ; -.p^u) a le signe de ( — i)*""*"* si l'on a
W-r< — <(/nH-l)-r> Il ^ l
m étant un nombre entier.
55. Racines e^ et, e^. — Parmi les racines du polynôme 4x' — g2X — gi la plus grande et la plus petite sont donc
^1 = P(witt>, to'), 63 = p((o'|to, to').
Ces deux racines étant réelles et les invariants g^ et g^ étant réels, la troisième racine ^2 est réelle aussi : elle est comprise entre les deux précédentes et a pour valeurs
Ainsi, en désignant, comme nous l'avons fait, par ^i, ^2» ^1 les racines qui correspondent aux demi-périodes w, (o -h co', co', 00 a
56. Autres Taleurs de u rendant pu réelle. -^ Nous trouverons d'autres valeurs de l'argument faisant prendre à la fonction des
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pu. 7$
valeurs réelles en considérant les développements de p(w + o/) et de p[u-+- (o).
1° Argument w-h-co', u étant réel. — D'après la définition même de pu, on sl
v=dbi, ±3, ±5, ....
Lorsque u est réel, si l'on change v en — v dans un terme imaginaire de la série, on obtient un autre terme imaginaire conjugué du précédent et la somme de ces deux termes est réelle. Donc p(a4-ci)') est réel quand u est réel. On voit, de même, que la dérivée
est réelle.
Quand u croît par valeurs réelles de o à co, w -f- co' varie de co' à O) -f- co' et p\u + 0)') ne devient ni nul, ni infini, sauf pour les valeurs extrêmes qui annulent toutes deux p'(M + o)'). Ainsi j3'(w + co') garde un signe constant : p(M + (i)') varie toujours dans le même sens. Or, la valeur de cette fonction pour w = o estes; pour w = o), elle est e^^e^. Donc p(w-hw') croît constamment de ^3 à ^2'
D'après cela, le signe constant de la dérivée est le signe 4-. Comme cette dérivée part de zéro pour revenir à zéro et reste finie elle a un maximum.
Ainsi, quand u crott de o à tù^ p(u -f- co') est réel et croît de ezà e2] la dérivée p\u + w') est réelle, positive et inférieure à un certain maximum.
On en conclut une seconde expression de la période réelle 2ci). En efiet, en faisant
P(m -\- iù') = X,
on a
, dx
du = • ,
et quand u varie de o à co, x varie de e^ à ^2 par valeurs réelles ;
on a donc, en intégrant par rapport à a de o à (o, et par rapport à ^ de ^) à 62,
2® Argument it — w, / étant réeL — Considérons enfin un argument de la forme — co + /V, t étant réel. Dans la formule
faisons /V = — co 4- it^
p( — a> -+- l/|w, Cl)') = — p( ^-h toi -r-> itu j.
la fonction qui est dans le second membre rentre, à un changement de notation près, dans le cas précédent.
Quand t varie de o à — cette fonction varie constamment dans
le même sens : il en est de même de la fonction p( — (o + ï/jo), to'); or, cette fopction part de e\ pour arriver à e^ ; elle décroît donc constamment. Sa dérivée prise par rapporta /, ip'{ — (o-i-fV|(«), co') est négative et, comme elle part de zéro pour arriver à zéro, elle reste supérieure à un certain minimum.
Ainsi, quand t varie deo à-ry p( — co + ^V) décroit deci à 62]
ip( — co-f-i^) est négative et reste supérieure à un certain minimum.
Comme
p(u) -4- iV| (I), 0)')= p( — O) -+- i/| o), tu'),
le même résultat s'applique aux fonctions
p(a>-t-i7) et ip'((jii-i- it).
Remarque. — Nous venons de trouver des valeurs de u pour lesquelles la valeur de la fonction pu est réelle et nous avons déjà
reconnu que, dans le cas actuel où les quantités co et -r sont
réelles, la fonction pu peut prendre une valeur réelle quelconque. Les autres valeurs de Targument, pour lesquelles la fonction
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pU. 75
prend des valeurs réelles, peuvent se déduire des précédentes, en remarquant que l'équation
pu — pç = o
entraîne (n° 43)
u=dzv,
à des multiples près des périodes.
57. Résumé. — Considérons le rectangle de sommets o, co, co + o>', o>'. Quand l'argument u décrit le contour de ce rectangle dans le sens o, tu, o>+a>', o>', o, la fonction pu est réelle et diminue constamment de + oo à — oo :
I® Quand w va de o au sommet <^, pu est réelle et décroît de oo à Ci] p'u est négative.
2** Quand w va de tu à o>', pa décroît de e^ k 62^ p'u est purement imaginaire positive.
3** La variable u allant de o> + co' à co', p w décroît de 62 à ^3, p'u est réelle et positive.
4° Enfin u revenant de tu' à o, pw décroît de 63 à — 00; p'u est purement imaginaire négative.
En tout point pris dans le rectangle pu est imaginaire. II. — Étude de la cubique définie par les équations x = pu^y = p'u.
LEMNISCATE.
58. Cas général. — Considérons la cubique ayant pour équation
où g2 et gi désignent des constantes données quelconques. On démontre, en Géométrie analytique, que l'on peut, par une projection centrale ou perspective, ramener l'équation de toute courbe du troisième ordre à cette forme.
Construisons la fonction p{u] g2^ g^)] nous pourrons exprimer les coordonnées d'un point de la courbe (1) en fonction d'un paramètre u^ en posant
(2) x = pu, y = p'u,
A. chaque valeur de u répond alors un point de la courbe, car
les fonctions p et p' sont uniformes : ce point reste le même quand on ajoute à u des multiples des périodes 2o> et 2a>'. Réciproquement, à chaque point (x^y) de la courbe répond, dans un parallélogramme des périodes, une seule valeur de u. En effet, ûo étant donné seul, l'équation
donne, pour u, deux valeurs Ui et — Ui et toutes les valeurs homologues : comme la fonction p'u est impaire, à ces deux systèmes de valeurs de w, correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires; ce sont les deux valeurs que Ton tirerait de Féquation (i). Si l'on fait choix d'une de ces valeurs de y, il lui correspond donc une seule valeur de w, Ui par exemple, et les valeurs homologues. La proposition est établie.
On a ainsi une représentation paramétrique parfaite de la courbe.
59. Condition pour que trois points soient en ligne droite. — Soient Ml, M2, M3 les trois points où une droite quelconque
y — ax — 6 =
coupe la courbe. Les valeurs Ui, U2t u^y situées dans un parallélogramme élémentaire et correspondant à ces trois points, sont racines de l'équation
p'w — apu — b = 0.
Le premier membre de cette équation est une fonction elliptique d'ordre 3 : elle a, dans un parallélogramme élémentaire, trois zéros W|, «2? ^3 et un infini triple homologue du point u=i o\ d'après le théorème de Liouville, on a donc
(3) Mi-h W2-+- ^3= 2 /ICO -h 2/1' 0)',
n et nf étant des entiers.
Cette condition qui est nécessaire pour que les trois points correspondant à w^, Mj, Uz soient en ligne droite, est suffisante. Eu effet, soient M^, M2, M3 les trois points correspondant aux trois valeurs W|, ^2? ^3» Joignons les deux premiers par une droite et appelons M3 le point où cette droite coupe la cubique
ETUDE DES VALEURS REELLES DE pu, 77
et 2/3 le paramètre correspondant. Les trois points Mi, M2, M', étant en ligne droite, on a
Ml -+- W2 -+- Mj = a m w -+- a m' to',
m et m' entiers. En comparant à la relation (3) supposée vérifiée, on voit que u'^ ne diffère de u^ que par des multiples des périodes; donc M3 coïncide avec M3 et les trois points considérés sont en ligne droite.
60. Formule d'addition. — La relation (3) permet de retrouver la formule d'addition de pu. Si l'on appelle u et i^ les paramètres de deuK points de la courbe, le point en ligne droite avec les deux premiers correspond jà la valeur — (u-^i?) du paramètre.
D'après cela, les abscisses des trois points d'intersection de la cubique avec une droite peuvent être représentées par
P^, pu, p(u-hv)]
et les ordonnées par
pV, p'u, —p'{u-^v).
L'équation aux a: des points d'intersection est
On voit d'abord que la somme des racines est -7-> ce qui donne
la relation
pu-hpv-{-p(u-hv)= —7
à laquelle il faut joindre l'une des suivantes
p'u — p'v ^ —p'(u-hv) — p'v ^ —p'(u-^v) — p'u pu — pv p{u-hv)—pv p(U'^\>) — pU
obtenues en déterminant le coefficient angulaire de la droite au moyen des coordonnées de deux de ses points.
En éliminant a on trouve le théorème d'addition
. . I /p'u — p'vY
pu -{-pV-+-p{u-hv)= y { ^ ^-— .
4 \ pu — pv I On peut déduire de la même équation F(^) = o une autre
formule d'addition doDnaDt une expression du produit qui est très souvent utile. Posons
nous aurons l'identité
^x^— gtx — g^z — (ax -h b)^ ^ ^{x ^ xi)( X — Xi){x ^ x^y
Prenons les dérivées des deux membres puis faisons x = x^^ nous trouverons
iix^ — ^2— ia{axi'^ b) = 4(irj — Xx){xz — X\)^ OU, en introduisant les valeurs de la fonction p et se rappelant que
i{pu — pv)[p(,u -^ v) — pv] = pV — rtpV,
pu — pv En particulier, si a = o, on a l'égalité
qui donne une interprétation géométrique delà seconde dérivée /?'V et permet de trouver son signe quand elle est réelle.
Addition d'une demi-période, — Ces considérations donnent une signification géométrique simple aux formules d'addition d'une demi-période établies dans le n° 47. On les obtient en coupant la courbe par une sécante passant par un des points où elle rencontre l'axe O x. Ces points A|, A2, A3 ont pour coordonnées y = o avec
X = Ci, X = 62, X = C3.
Ils correspondent aux valeurs w, w + w', w' de l'argument u. Si donc on coupe par une sécante joignant le point
Ai(7=o , x = ei)
correspondant à la valeur w du paramètre à un point M' de la
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pU, 79
courbe correspondant à la valeur u du paramètre, cette sécante coupe la courbe en un troisième point M" correspondant à une valeur u!' telle que
(ti -i- u -¥- u" = 7. n (ii -{- 2 n' (ti\
et, en négligeant des multiples de périodes, on peut prendre u" = — (w + (o). Ainsi les abscisses des points M' et M'' sont
X'=pUy X" = p{U-{- lii),
D*autre part, en coupant la courbe
par une sécante issue du point Â|
y = mix — ei),
on a, pour déterminer les abscisses a/ et :r", l'équation
m^{x — ei) = ^{x — e2){x — 63).
Si dans cette équation on considère x — ei comme l'inconnue, le produit des racines (œ — e^){x" — e^) a pour valeur
{x'—ex){x"—ei) = («1— e2)(ei— ^3).
On a donc, d'après les valeurs de x' et x'^,
[pu^ei][p{u-h(a) — ei] = (ei — e2)(ei—e3),
ce qui est une des formules établies dans le n**47. On obtiendrait de même les deux autres en coupant par une sécante passant par l'un des points A2 ou A3.
61. Tangentes menées d'un point de la courbe. — Menons la tangente à la courbe au point dont le paramètre est w, cette tangente rencontre encore la courbe en un point; soit ç le paramètre de ce point. On a, d'après la condition qui exprime que trois points sont en ligne droite,
On en déduit
V 2 /l 0) H- 2 Al' 10'
8o CHAPITRE III.
Dans cette formule, on peut donner k n ei nf toutes les valeurs entières ; mais deux valeurs de u qui diffèrent par des multiples de 2(1) et 2 o>' donnent le même point de la courbe; il suffit donc de donner k n ei n' les valeurs o et i associées de toutes les manières possibles. On a ainsi les quatre valeurs de u
y hU), hU), hW-f-ti).
Donc, par un point pris sur la courbe, on peut liii mener, en général, quatre tangentes distinctes de la tangente au point considéré.
Points d^ inflexion, — Comme autre application, cherchons les points d'inflexion. Si u est le paramètre d'un point d'inflexion, la tangente d'inflexion coupe la courbe en trois points confondus avec celui-là; il faudra donc faire dans (i), à des multiples près des périodes,
Ml = W2= W3 = w; d'où
intii -h 2/i'a)'
Dans cette formule, on peut donner k n el n' toutes les valeurs entières; mais deux valeurs de u qui difierent par des multiples de 2 0) et 2 0)' donnent le même point d'inflexion. Il suffit donc de donner à /i et /l' les valeurs o, i et 2 associées de toutes les manières possibles. On trouve ainsi /lew/* points d'inflexion dont les paramètres sont donnés par le Tableau suivant, où Un^n' désigne la valeur de u correspondant à un choix déterminé des entiers n
2to' 4 a)'
— , Wo,2=-3-,
2 tO -h 2 to' 9 W -4- 4 w'
4 w -h 2 to' 4 w -f- 4 1»)' 3 ' "^'^= 3
Ces points sont trois à trois en ligne droite; la droite, qui joint deux quelconques d'entre eux, passe par un troisième; on a, par
et n' :
Wo,o = o,
Wo,i =
2W Wl,0= y '
KTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pU, Si
exemple,
//0,oH- "i,l-^ "2,2= 2 0) -h 2 0)'.
Le premier point Uq^q est rejeté à Tinfini dans la direction de Oy.
62. Condition pour que 3/t points de la cubique soient sur une courbe d'ordre n. — Cherchons d'abord la condition pour que six points de la cubique soient sur une conique.
Si l'on coupe la cubique par une conique
A a?* -+- 2 B xy -+- Cy^ -h 2 D a: -h- 2 Ey -+- V = o,
l'équation qui détermine les paramètres des points d'inlerseclion s'obtiendra en remplaçant x ei y par pu et par p'ii. Le premier membre de cette équation est une fonction doublement périodique qui, dans un parallélogramme élémentaire comprenant l'origine, admet zéro comme pôle d'ordre 6 et n'admet pas d'autre pôle; l'équation admet donc six racines (n"* 38 et 39) et la somme de ces racines est nulle, à des multiples près des périodes.
Ainsi la condition nécessaire pour que six points de la cubique soient sur une conique est que les paramètres de ces six points vérifient l'égalité
Ui -r- Ui -+- U-^ -h //', -h Ur, -r- If & = .>. fl CO -H 2 w'to'.
La condition est suffisante car si elle est remplie, la conique, passant par les cinq premiers points, coupe la cubique en un sixième point dont le paramètre u^^ doit être congruent à Uq,
On obtiendrait, de même, la condition pour que 3/^ points de la cubique soient sur une courbe d'ordre n. Cette condition est
Par exemple, une autre cubique coupe la cubique donnée en neuf points qui doivent être assujettis à une condition, puisque, par neuf points donnés, il ne passe, en général, qu'une seule cubique. Le théorème précédent exprime cette condition de la façon la plus simple.
Ce théorème a de très nombreuses applications géométriques, nous en donnerons seulement quelques exemples.
A. ET h. G
Applications. — i® Lorsque six des neufs points d'intersection de deux cubiques appartiennent à une même conique les trois autres points sont en ligne droite.
En effet, soient u^^ u^^ - • ., ih l^s paramètres des neuf points suivant lesquels la cubique donnée est coupée par une autre cubique, on a la condition
Ml -+- M2 -+-•••-+- We -+-••• -^ "9 = o>
où, comme dans tout ce qui suit, le signe ^ indique que Tégalité a lieu à des multiples de périodes près. Supposons que les six premiers points appartiennent à une même conique, on aura cette autre condition
Ml 4- Wî -f- . . . -f- Wg = O,
et l'on déduit de ces deux conditions l'égalité
qui exprime bien que les trois derniers points sont en ligne droite. Le théorème est donc démontré.
1^ Si l'on considère une conique variable passant par quatre points fixes pris sur une cubique, la droite qui joint les deux points d'intersection mobiles passe par un point fixe de la cubique.
Soient W|, 112^ Uz, Uj^, u^, Uq les paramètres des six points d'intersection, les quatre premiers se rapportant aux points fixes. Posons
Ml -{- M2 -h M3 -h M4 = V;
V est une constante. La relation qui exprime que les six points considérés de la cubique sont sur une conique devient
elle exprime que les points dont les paramètres sont M5, u^ et v sont en ligne droite. Gomme v est le paramètre d'un point fixe, la proposition se trouve démontrée.
Courbes de contact, — Les applications suivantes sont relatives à des courbes de contact, c'est-à-dire à des courbes qui ont avec la cubique plusieurs points d'intersection confondus.
3® Considérons d'abord des coniques trois fois tangentes à la
ÉTUDE DES VALEURS KKELLES DE pU. 83
cubique ; si l'on désigne les paramètres des points de contact par iii, U2', Uz on doit avoir
ou bien
lUi-^ "2 «2+ '■iW3= '2/2 0) -T- a/l'o)',
Wi -h Mj H- «3 = /i to -h /i tu ;
il sufGt de donner à chacun des nombres entiers n et n'ies valeurs de o et I.
Si Ton prend
l'égalité exprime que les trois points sont en ligne droite. C'est le cas où la conique se réduit à une droite double ; écartons ce cas ; il reste trois familles de coniques correspondant aux relations
"i-h wj-^- "3= w,
Ml -H W2-4- M3== w'.
«1 -7- ^2 -h U:\ == tO -H w'.
On peut donc choisir arbitrairement deux des points de contact pour chaque conique d'une famille. Prenons une conique, de la première famille par exemple; si l'on fait passer une conique par les trois points de contact W|, u^t Uzi elle rencontrera encore la cubique en trois points u\^ Wj, u.^ et l'on aura
Ux -+■ Ui -f- W3 -4- u\ -+- U.J, -4-^3 = 2 n w -+- '?. n'oi'.
De cette relation et de la condition déjà vérifiée par «,, i/^? '':ir on déduit
et l'on voit que les trois nouveaux points sont aussi les points de contact d'une conique trois fois tangente à la cubique appartenant à la même famille.
4** Cherchons encore les points de la cubique où la conique osculalrice a un contact du cinquième ordre, ou, ce qui revient au même, les coniques qui rencontrent la cubique en six points confondus.
On doit avoir pour le paramètre du point de contact
OU bien
Chacun des nombres entiers n et n' peut prendre toutes les valeurs de o à 5, ce qui donne 6^= 36 points.
On trouve parmi ces points les neuf points d'inflexion qu'on
obtient eu considérant les tangentes dMnflexion comme des droites
doubles, puis
points de contact de véritables coniques surosculatrices. Ces points sont six par six sur des coniques.
63. Cas particulier où co et — sont réels. Forme de la courbe.
Nature de l'argument donnant des points réels. — Nous allons
maintenant examiner le cas particulier où w et -r- sont réels, de
façon à avoir une représentation géométrique des résultats du paragraphe précédent. Dans ce cas, la courbe a pour équation
où ^1, ^2j ^3 sont réels et rangés par ordre de grandeur décroissante. Pour que j^ soit réel il faut que x soit compris entre e^ et Co ou plus grand que ^|. On voit immédiatement que la courbe est formée d'une ovale A3 A2 et d'une branche infinie A^ de nature parabolique, sur laquelle la tangente tend à devenir parallèle à Oy
if g- 5).
Cherchons quelles valeurs il faut donner à u pour obtenir les point réels de la courbe. D'abord, pour obtenir les points de la branche infinie, il faut donner à u des valeurs faisant varier x de e^ à -|-cx>, c'est-à-dire des valeurs réelles. Puis, pour obtenir les points de l'ovale, il faut donner à u des valeurs faisant varier x de ^3 à e^j c'est-à-dire des valeurs de la forme w -f- w', w étant réel.
On peut facilement suivre sur la courbe la marche du point i^^y) quand l'argument prend ces deux systèmes de valeurs.
Supposons d'abord u réel; il suffit, à cause de la périodicité, de le faire varier de — w à + w, en remarquant que des valeurs de u
ETUDE DES VALEURS RÉELLES DE pu.
égales et de signes contraires donnent des points de la courbe sjmétriques par rapport à Ox. Quand u croît de o à o>, ^ décroîl de + 00 à ^1, j^ croît de — oo à o : on a donc la branche infinie de courbe située au-dessous de O a; et venant aboutir au point Â| dont les coordonnées sont Ci et o. Au point A4 la tangente est parallèle à Oy puisque j- = p'w s'annule pour a = tu et que -r- ne
Fig. 5.
s'annule pas pour cette valeur. Quand u varie de o à — w, on obtient la branche de courbe symétrique de la précédente par rapport à O^. Nous avons ainsi construit la partie de la courbe donnée par des valeurs réelles de l'argument.
Supposons maintenant l'argument de la forme w + w' et faisons varier w, par valeurs réelles, de o à o>; ^ croît de e^ à 62; J^est positif, varie d'une manière continue et part de zéro pour revenir à zéro. On a donc la branche de courbe située au-dessus de O^ et allant du point A3(e3,o) au point A2(e2,o); les tangentes en A3 et A2 sont parallèles à Oy. L'argument étant toujours de la forme w + co', en faisant varier w par valeurs réelles de o à — w, on obtient le deuxième arc de l'ovale symétrique du premier par rapport à O^. Nous avons ainsi construit la partie de la courbe (ovale) correspondant aux valeurs de la forme u-{~ io', u réel.
Tangentes parallèles à Ox, Signe de p"u. — Comme on a y = p'uj les valeurs de u correspondant aux points où la tangente
est parallèle à O^ sont racines de l'équation ^ =o ou p'^u=o, La
fonctionp^'w, qui est paire et d'ordre 4 j a, dans un parallélogramme, quatre zéros deux à deux égaux et de signes contraires. Il y a donc sur la courbe quatre points où la tangente est parallèle à 0:r. Deux points, les points B| et B2, sont seuls réels : en effet les
abscisses de ces points sont racines de l'équation -^ = o ou, d'après l'équalion de la courbe, i2X^ — ^2= o. Cette équation, dont le premier membre est la dérivée du polynôme 4^* — g2^ — ff^-» a une racine a entre <?i et ^2 et une autre P entre ea et e^] cette dernière seule donne des points réels B| et B2.
L'identité 2p"u= 12 p^u — g2=^i2œ^ — ^2 donne le signe de p" U' Sur la branche infinie, x^ a, p" u est positif. Pour l'ovale, sur l'arc B| A2B2, p" u est négatif, car x est alors compris entre les deux racines a et ^ de i2X^ — g2y sur l'arc B| A3B2, p"u est positif, car X est inférieur à p.
Tangentes menées par un point de paramètre p. — Nous avons vu que les quatre points de contact correspondent aux valeurs du paramètre
h to,
-h OJ ,
h to -
On peut donc, par un point P pris sur la courbe, mener quatre tangentes, en général distinctes de la tangente au point considéré. Lorsque v est réel, pour deux des points de contact, l'argument est réel; pour les deux autres il est de la forme w'h- M|, u^ étant réel. Donc, lorsque le point P est pris sur la branche infinie, les quatre tangentes sont réelles : deux des points de contact sont sur l'ovale et les deux autres sur la branche infinie. Lorsque v est de la forme w'-H i^i, v^ étant réel, on a
Les arguments des points de contact ne sont ni réels, ni de la forme co'-|- m<, u^ étant réel (à des périodes près). Par un point P
ETUDE DES VALEURS RÉELLES DE pu, 87
pris sur Tovale ou ne peut pas mener à la courbe une tangente réelle.
Points d^ inflexion, — Nous avons trouvé plus haut neuf valeurs du paramètre donnant les neuf points d'inflexion. Dans le cas particulier que nous examinons ici, trois de ces valeurs
sont réelles; elles donnent trois points d'inflexion réels situés sur la branche infinie, le premier à l'infini, les deux autres aux points Ti et I2 symétriques par rapport à O^. Ces trois points sont en ligne droite.
ôi. Dégénérescence. Cas d'un point double. — Supposons le discriminant g\ — 27^3 nuL La cubique a alors un point double. Une des périodes 2co' est infinie (n°*23 et 37) et p m se réduit à
