II' -^ 11"-^- U
Cas d^ un point de rebroussement. — Si g2^= gz=o la cubique devient
elle a un rebroussement. Alors les deux périodes w et w' sont infinies; on a (n° 23) :
X = pu = —-9 y = p u = — .,
Les trois valeurs de u correspondant à trois points en ligne droite vérifient alors la relation
en effet, elles sont racines d'une équation de la forme
qui, rendue entière, ne contient pas de terme en 11^.
ÉTUDK DES VALEURS RÉELLES DE pil.
Il n'j a plus qu'un point d'inflexion, car en faisant
on a
Ce point d'inflexion est d'ailleurs rejeté à l'infini.
65. Rectification de la lemniscate. — Soit une lemniscate ayant pour équation en coordonnées polaires
r'= 2 cosaO.
Fig. 6.
L'arc 0M = s (Jig- 6), compté à partir du point double où / est nul, est donné par les formules
2 dr
ds=\/dr^-^r''dbi =
~ X i/li — r'*
Faisons le changement de variable
il vient
dz
on a donc une intégrale de la forme
dz
sj'\z^— glZ — g^
avec ^2 = ï ; ^3 = o. On en conclut
On a ainsi une représentation géométrique de la fonction p{s; I, o) pour les valeurs réelles de l'argument.
Actuellement les racines ei, e.>, en sont -j o et • Les ex-
pressions
c'est-à-dire
ou encore
y/^sinÔ i v^cosO r r r
sont des fonctions uniformes de s exprimées par les quotients
On a ainsi une représentation géométrique de ces trois fonctions pour le cas ^2 = » ? 5^3 = o.
La demi-période réelle est donnée par
Elle est égale au quart de la longueur totale de la lemniscate, car en revenant à la variable r, on a
rv ^ 1 dr
ce qui est la longueur de l'arc OA.
IIJ. — Pendule sphérique. Corps pesant de révolution.
Élastique gauche.
66. Pendule sphérique. — Le pendule sphérique est constitué par un point pesant mobile sans frottement sur une sphère fixe. Prenons pour origine le centre de la sphère et pour axe des z une verticale dirigée vers le haut. En coordonnées semipolaires l'équation de la sphère est
ÉTUDE DBS VALEURS RÉELLES DE pU, 9I
en désignant par / la longueur du pendule. Le mobile est soumis à l'action de deux forces, son poids et la réaction normale de la sphère; le théorème des forces vives donne donc
De plus, les deux forces étant dans un même plan avec Taxe des z, on peut appliquer le principe des aires à la projection du mouvement sur le plan xOy :
r* d'\> = C dt.
é désignant l'angle polaire. Ces trois équations déterminent z, r et ^ en fonction de t.
Cherchons d'abord à déterminer z : il faudra pour cela éliminer r et ^. L'équation des forces vives peut s'écrire
dr^ -4- 7-2 d^^ -^ dz^
De l'équation de la sphère, on tire r = ^t^ — z-; d'autre part, l'équation des aires donne
Cdt Cdt
Portant ces expressions dans l'équation des forces vives, on a une équation de la forme
où ^(z) désigne le polynôme du troisième degré
On en déduit le temps t et l'angle ^ en fonction de z par des
intégrales elliptiques.
dz . ,
Pour que -r- soit réel, il faut que ç(^) soit positif. Ce polynôme
a ses racines réelles : en effet, appelons Zq la valeur initiale de z et substituons dans 'f{z) la suite des nombres +qo, /, Zq^ — l', nous trouverons, pour les résultats des substitutions, les signes +, — , , — , car Zq rend évidemment ç(^o) positif, la valeur initiale
i)l CHAPITRE III.
de -1^ élani réelle. Il y a donc une racine Zt de o{z) entre + ac
et /, une autre z^ entre / et s©, une troisième z^ entre Zo cl — /. Ainsi les nombres de la suite
■3|, f, Sj, ^oi -^3' — *
sont rangés par ordre de grandeur décroissante. La variable z pnrtant de ^o ne peut varier que dans Tintervalle z^ z^.
Calcul de z. — La coordonnée z est donnée en fonction dr f
~ j est égal à un polynonif
0(5) du troisième degré en z. Pour en tirer z par une fonction elliptique de /, nous commencerons parfaire un changement linéaire de variable de la forme
(2) ;: = M5-hN,
où s désigne la nouvelle inconnue et M et N deux constantes telle> que Féquation (1) prenne la forme
(3) (gy=i,.,,,,^,.
Par la substitution (2) Téqualion (i) devient
/dsy o(z) o(M5-4-N)
Pour identifier avec la forme (3), il faut égalera 4 1^ coefficient de 5' et à o celui de s^ dans le deuxième membre. On a ainsi
/'\ lit ^^' V ^'
L'équation prend alors la forme (3) à condition d'attribuer aux constantes g^ et g^ des valeurs convenablement choisies.
Comme le polynôme 0(2) a trois racines réelles z^> z^^ z^, le polynôme transformé
©rM5-+-N)
KTL'DE DES VALEURS RÉELLES DE pU. 9^
a trois racines réelles ^i, e^y Cz
(6) ^«=-M-' '^=-]vr-' ^'=— M-'
et Ton a ^1 ]> ^2> ^3> car M est positif.
Construisons alors la fonction j^u avec les invariants gi et g^ ; cette fonction vérifie l'équation
Si donc on pose
5 = p M, z — yi^u-^ N,
w étant regardé comme fonction du temps /, l'équation (4) devient
(p'")M-^j = 4p''« — /Ç-iP" — ^"3.
d'où
\dt) ~'' dt
I du \ 2 du
On peut toujours prendre le signe -i-, car pw étant paire, on peut changer le signe de u» On a alors
u = t -+- consi.
Cherchons maintenant de quelle forme est la constante. Comme la valeur trouvée pour M est positive, la relation
z = Mpu. -h \
montre que s = pu varie dans le même sens que z. Donc quand z décroît de Z2 à ^3, pu décroît de 62 à ^3, u — 0/ est donc réel et Ton a
u = t -h tji'j
si l'on compte le temps à partir de l'instant 011 z = ^3.
La demi-période réelle co est le temps que met z à varier de Z2
Calcul de ^, — L'angle ^ est défini par l'équation difl'ércntielle
que nous écrirons, en remarquant que dt = du^
j, Cdu f I I \
Dans cette équation, il faut remplacer z par sa valeur
le coefficient de du est alors une fonction elliptique de u que nous allons décomposer en éléments simples, de façon à pouvoir intégrer.
Considérons deux arguments a et b définis par les relations
(7) / = Mpa-hN, — / = Mp6^-N,
ces arguments sont définis aux signes près; nous verrons plus loin comment il convient de choisir leurs signes. Alors l'expression de rfi devient
^"~'2lVl/\ pu — pa pu - p^J*
G 011 il reste à donner une forme simple au coefficient
2M/ Pour cela remarquons que le polynôme
cpCs) cp(M,pM-f- N)
tPTï " ' M ^Ti
se réduit à — WTJï P^^r ^= ^ et z = — /, c'est-à-dire pour u = (i et u = b; comme on a identiquement
^' "- ÂÎ^T^ '
on trouve, en faisant successivement u ^ a et u = by
Nous prendrons, en extrayant les racines, ce qu'on peut toujours faire, car jusqu'à présent les signes de a
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pU. 95
et b n'étaient pas déterminés; nous les déterminons par le choix de signes que nous venons de faire pour p'a et p'6. On peut donc écrire
du pu — j) ^ pu — pa
La décomposition du second membre en éléments simples se fait en appliquant deux fois la formule (64) du n° 44
2t^^ = Ç(;4-ha) — ;(m — rt) — 'iïrt,
En intégrant et en remontant des logarithmes aux nombres on trouve
La constante d^intégration — E^ se détermine par les conditions initiales.
L'angle ^ est ainsi exprimé en fonction du temps.
Expressions de x et y- — On a
X — iy ^{u — a) :a{u -h ù)
D'autre part, d'après l'équation de la sphère,
(x -^ iy){x — ly) = (l — z)(l -h z) =z — M^(pu -- pa){p u — p b),
En multipliant membre à membre les égalités qui donnent
