X -f- iy

X— ly

f^ et (^ + iy){oo — iy) on obtient {x -f- iy)--,

on en conclut

l ,,.':f(fl — i^)^(U ■+- b) ^.y, y,

E cfacfbcf^u

Enfin, remplaçons M par sa valeur en fonction des éléments elliptiques, valeur qui peut s'obtenir en retranchant membre à

membre les égalités

iM = r = — i. t

On a ainsi x^ y^ z exprimés en fonctions uniformes de i. Quand t augmente de 2co, z reprend la même valeur, l'angle polaire ^ augmente d'une certaine constante.

67. Corps pesant de révolution suspendu par un point de son axe. — Prenons pour origine le point de suspension O, pour axes liés au corps l'axe de révolution Oz et deux axes perpendiculaires, pour axes fixes la verticale ascendante Oz\ et deux axes perpendiculaires. On démontre en Mécanique (*) que les angles d'Ëuler 0, cp, ^, qui définissent la position des axes liés au corps par rapport aux axes fixes, sont donnés en fonction du temps par les formules suivantes. D'abord, en posant cosO = 5, on a

(i) \dt) =(* — "*^'< ' — ^■)--U'^ -- ''->'=/(-)'

où m, /2, a, ^ désignent des constantes, dont la première m est positive, de sorte que /(^) est un polynôme du troisième degré. On a ensuite

cW |3 — nz Tt ~ 1 — ^2

dt -'" - di -'" .

/•q désignant une autre constante.

11 s'agit de tirer de ces équations ô, cp, ^ en fonction du temps. Les calculs, comme on va le voir, présentent une grande analogie avec ceux que nous venons de faire pour le pendule sphérique.

(') V'oir Appell, Traité de Mécanique, t. II, n« 40'2.

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE p U, 97

Cette analogie peut aller jusqu'à l'identité, car, dans le cas particulier où le corps pesant de révolution se réduit à un seul point matériel, il constitue un pendule sphérique.

Le polynôme /(z) est négatif pour les valeurs — oo, — i et -f- i de Zf tandis qu'il est positif pour la valeur initiale Zq de z qui

rend nécessairement -j- réel et pour -|-qo. Il a donc ses trois racines z^J ^2, ^3 réelles et comprises respectivement dans les intervalles (-1-00, -f- i), (+1, zo) et (^0, — 0-

Calcul de z. — Commençons par faire un changement linéaire

de variable

où M et N sont des constantes choisies de telle façon que l'équation en s prenne la forme

(4) (gy=4.'-^..-^,.

Par ce changement l'équation (i) devient

^^^ \dt) = Mi

On déterminera les coefficients M et N de façon à rendre égal à 4 le coefficient de s^ et à o celui de s^ ; après cette détermination, qui donne pour M la valeur positive M = — > on pourra écrire

à condition de donner aux invariants g2 et ^3 les valeurs qui rendent le premier membre identique au deuxième.

Les racines du polynôme /(^) étant, par ordre de grandeurs décroissantes z^, Z2', ^3, celles du polynôme transformé en s seront

^i=-M-' ^*=-ir"' ^^=-M—

Pour que f{z) soit positif il faut que z partant de Zq varie entre Z2 et ^35 donc s devra varier entre 62 et ^3.

Si l'on construit la fonction pu aux invariants g2 et ^3, cette

98 CHAPITRE m.

fonction vérifiera l'équation

/•(Mpw-+-N) , ,

Nous poserons alors s = pu en regardant u comme une fonction de t, et l'équation (5) deviendra

c'est-à-dire

^"\*— . du __

où nous prenons -l-i, car, pu étant paire, on peut toujours changer u de signe. On a alors

u = t •+• const.,

et, comme s = pu doit rester compris entre 62 ei e^j u — tu' doit être réel. Nous ferons

(8) u=it-ho}';

alors pour ^ = o, w = co', j3m = <?3, 5 = z^.

Le temps est donc compté à partir d'un instant où ^ = ^3.

En résumé, nous avons exprimé z en fonction uniforme du temps par la formule

La demi-période co est le temps que met z à varier de Zz à ^2 et inversement.

Calcul de \, — On a

d^ ^ — nz I / p-h/i __ p — /z \ dt ~ I — z^ "~2\x;-+-i z — 1/

Remplaçant, dans cette expression, z par sa valeur

s = Mpw-h N,

et dt par rfa, on est ramené, pour avoir <j^, à intégrer une fonction elliptique. Pour faire cette intégration il faut décomposer la fonction elliptique du second membre en éléments simples. Pour

ÉTUDE DES VALEURS REELLES DE pU. 99

cela, déterminons deux arguments constants a et b par les conditions que pour 11=2 a, z devienne égal à i et pour u= b^ z devienne égal à — I

( Mpa-+-N = i, ^^^ I Mp6-hN= — I.

Ces arguments sont déterminés aux signes près par ces deux équations^ si l'on regarde comme équivalentes deux valeurs de a ou deux valeurs de b ne différant que par des multiples des périodes. On aura alors

du aiM \pu — p6 pu — pet' J

Les rapports ^-^ — > ^-^. — s'expriment d'une manière simple à

l'aide de a et b. Remarquons pour cela que le polynôme f(z) se réduit à — (jî — ny pour z = i et à — (P + ^Y pour z = — i. Donc la fonction/(Mpa -1-N) se réduit à — (jî — ny pour f/ = a et à — (? + f^y pour 11 = b. Mais comme on a identiquement

/{Mpu-^N) p^u = ^^ — -f

on a, en faisant successivement u := a et u= b,