PH

En extrayant les racines, nous prendrons

en choisissant convenablement les signes de a et 6 qui jusqu'ici étaient restés indéterminés. Nous aurons alors

du pu — p 6 pu — pa

L'intégration s'effectue comme dans le cas du pendule sphérique.

Si l'on appelle a", P", y' les cosinus des angles que fait l'axe O;;

lOO CHAPITRE III.

du corps avec les axes fixes Ox^, Oj^i, O^i, on a

de plus a" et ^^ sont les coordonnées Xi et yi du point situé sur l'axe du corps à une distance i du point O; en appliquant une méthode identique à celle que nous avons suivie pour calculer x et y dans le pendule sphérique, avec ce seul changement que, actuellement, / se trouve remplacé par i, on trouve

Ot" L. j 3» = — E ; ; ^ '■ ^ e^^so-^o^

avec

Calcul de ç. — On a

rfcp d^ 8 — nz

Décomposant le second membre en fractions simples, il vient

dzi I /3 -+- n S — n\ -^ = ro— /i -H - ( ^ h ^ )

at 2\-3-|-I z — 1/

Remplaçons z par Mp a + N et introduisant comme tout à l'heure les arguments a et 6, on a

do 1 / p'a

du 11 \pu — pa

pu — pb/'

d'où, en décomposant en éléments simples,

d(D 21-^' = 2i{rQ — n)-hl^(u — a) — l^{u-h a)-\- 2^a

et en intégrant

a'(w-Ha)cr(M-f-6) '

la constante C se détermine en écrivant, par exemple, que o est nul pour ^ = o, c'est-à-dire u = co'.

ÉTUDE DES VALEURS RKELLES DB pU. fOI

68. La courbe élastique gauche (i). — Il s'agit de trouver la figure d'équilibre d'une tige flexible dont la section est circulaire et qui est soumise à l'action de forces appliquées seulement à ses extrémités.

Si l'on choisit convenablement les axes de coordonnées, on trouve pour définir la courbe cherchée les équations différentielles

(l) ) z'x'''-x'z''=OLy—^X,

( xy—yx''=:az'-h^;,

dans lesquelles x'^ y, z\ x" , y, z^' désignent les dérivées par rapport à l'arc s des coordonnées x^ y^ z et a, P, v des constantes dont les deux premières sont essentiellement positives.

Ajoutons membre à membre les équations précédentes après avoir multiplié les deux membres de chacune d'elles respeclivement par x', y, z' ; en tenant compte de la relation

nous trouvons

(2) a-h ^{yx'— xy)-\-^[z' = o

et en différentiant le premier membre par rapport à s

(3) ^{yx''-xy'')'^-(z''=o.

Multiplions maintenant par x les deux membres de la première équation différentielle, paroles deux membres de la deuxième et ajoutons, il vient

z'^xy' -^yx')—z'(xy''—yx')= 7.{xx' -^yy'),

et si l'on remplace xy — yxf et xy — yx" par leurs valeurs en fonction de z' et de £^ tirées des équations (a) et (3).

z'ioL -f- Y^)— ^'y^'= a ^{xx'-^yy), ou encore

^{xx'-^-yy)=z''.

( » ) Voir Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, p. gS ; et une Note de M. J. Bertrand dans la Mécanique analytique de Lagrange (édition publiée par M. Darboux^ t. I, p. 460).

lOa CHAPITRE III. — ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pu.

En intégrant et en désignant par 8 une nouvelle constante

p(ar«-hj^«)=2(V— 8).

Ainsi, des équations diSerentielles données (i), nous pouvons déduire le système suivant

^(xx'-hyy) = z'' Servons-nous maintenant de l'identité

nous obtiendrons, pour déterminer z', l'équation différentielle

Dans le cas particulier oîi y = o, cette équation différentielle a, au signe de z' près, la même forme que celle qui s'est présentée à propos du pendule sphérique et s'intègre de la même manière.

Si y ^ o, l'équation différentielle ne diffère de celle qui donne z = cosO,Mans le mouvement d'un corps grave de révolution, que par le signe de z'-^ la méthode suivie dans ce dernier cas s'applique donc sans difficulté au cas de l'élastique gauche et l'on pourrait d'ailleurs mettre les problèmes en équation de manière à aboutir à des équations*différentielles identiques.

D'après (un théorème dû à Kirchhoff, l'axe d'un pendule sphérique ou d'unejtoupie dont la pointe est fixe reste toujours parallèle à la tangente à une courbe élastique gauche, le point de contact de la tangente décrivant la courbe avec une vitesse constante (*).

(') Voir Greenhill, Fonctions elliptiques, p. 820 et 824, Poincaré, Leçons sur la Théorie de l'Élasticité, p. 201.

i. Déterminer les paramètres des points de contact des tangentes menées à la cubique a: = p m, j^ = p'apar le sommet Ai de la branche infinie (w et w' réels).

En conclure que, Ox étant supposé horizontal,'si l'on considère le point le plus haut de Tovale on peut prendre pour paramètre de ce point une quantité de la forme a + co', a étant une quantité réelle comprise entre o

et — •

Il suffit pour le voir de prendre un argument u ■+• w', de faire varier u

de o a — et de remarquer que h co correspond a une tangente menée du

sommet Ai.

2. Le rapport anharmonique des quatre tangentes menées à la cubique par un point P pris sur la courbe reste constant quand le point P se déplace sur la cubique.

On peut obtenir ce rapport anharmonique en fonction des coordonnées du point P et des coordonnées des quatre points de contact. On exprime ensuite ces coordonnées à l'aide des paramètres elliptiques correspondants et l'on applique la formule de l'exemple 2, page 63.

3. Si l'on appelle points correspondants d'une cubique deux points tels que les tangentes en ces points vont se couper sur la courbe, il y a trois points correspondants d'un point donné et, en désignant par u le paramètre du point donné, on peut prendre comme paramètres des points correspondants

M-htO, u -h Oi\ MH-W-f-O)';

chacune des demi-périodes définit un des trois systèmes de correspondance. Si l'on considère deux couples de points correspondants du même système : A, A' d'une part, B, B' d'autre part, les droites qui joignent les points non correspondants AB, A'B' ou AB', BA' se coupent sur la courbe et les deux nouveaux points sont des points correspondants dans le même système.