Sur la cubique définie par les équations

on prend deux points dont les paramètres diffèrent d'une constante p; la droite qui joint ces deux points enveloppe une courbe de sixième classe. Dans le cas particulier où c a l'une des valeurs

W, lo', (I) H- (I)',

l'enveloppe est une courbe de troisième classe (qui se présente ici comme comptée deux fois).

Dans Téquation de la droite joignant les deux points on remplace les coordonnées courantes par les coordonnées Xq ,yo d'un point P©, l'équation en u ainsi obtenue a six racines dans un parallélogramme élémentaire. Dans le cas particulier ou p = co par exemple, l'équation en u ne change pas quand on change u en u-h io.

Remarque, — La cubique donnée peut être regardée comme la hessienne d'une autre cubique G et cela de trois manières différentes ; les courbes de troisième classe qui viennent d'être définies sont les cayleyennes des trois cubiques G (*).

5. Si deux systèmes de trois droites ont huit de leurs neuf points d'intersection sur une cubique, le neuvième point d'intersection est aussi sur la cubique.

Gette proposition peut se vérifier directement à l'aide de la condition pour que trois points soient en ligne droite ; elle peut aussi se déduire d'un théorème démontré n° 62.

Si l'on appelle tangentiel d'un point m d'une cubique le point où la tangente en m rencontre encore la cubique, les tangentiels de trois points en ligne droite sont en ligne droite.

La droite qui joint deux points d'inflexion va passer par un troisième point d'inflexion ; on remarque qu'un point d'inflexion se confond avec son tangentiel.