C«* ■^* TZ

H,(„) = rnnF 2 eTinT'"-'»"-'""'''.

Si l'on augmente de a/K' l'argument, chacune des fonctions 0,, H| se reproduit multipliée par le même facteur que Fexpo-

Il8 CHAPITRE IV.

nentielle

e *KK'

Dësignons par [x ce multiplicateur, c'est-à-dire posons

11 = e ^^ nous aurons

e,(tt + 9.iK')=[jiei(M), Hi(w + 2iK')= (iHi(i«).

Pour passer de là aux fonctions 6 et H, il suffit de diminuer Targument de K dans les formules précédentes : 8| (u) et H|(m) deviennent respectivement S(u) et +H(tt), [jl se reproduit multiplié par e"^, c'est-à-dire — i, et il vient

e(w-i-2iK')=— fie(w), H(M-i-2tK') = — (iHi(i«). Réunissons ces formules

e(a-h2tK') = — |jie(w),

H(M-h2iK') =— [jiH(w),

Si l'on ajoute la demi-période iK', nous avons vu (n® 74) que les fonctions O^, H| s'échangent à un facteur près X défini par

X est le multiplicateur de l'exponentielle e ^^^' correspondant à l'accroissement ÎK.' de l'argument u.

Si, dans les formules ainsi obtenues, on retranche K de l'argument, et si l'on remarque que X se reproduit multiplié par i\ on trouve les formules correspondantes pour 8 et H. On a ainsi

ei(ttH-iK')= XH,(w),

iU{u-\-iK')= xei(M), ^^ '-^„„,.,K')

e(w-htK')= iXH(w), H(a-f-tK')= tX e(a),

Enfin, si l'on veut ajouter la demi-période K + iK', il suffit dans les formules précédentes d'ajouter K à l'argument, ce qui

donne

e,(M-i-K-hiK')= iXH(m),

Hi(tt + K-M-K')=— iX e(w). .[:^(2,,H.,K')

e(M-+-K-i-iK')= XHi(m), "^ ' ■

H(M-hK-f-tK')= Xe,(M),

77. Addition d'nn nombre entier de périodes. — Supposons d'abord que l'on ajoute 2/iK à l'argument; cela revient à ajouter n fois successivement 2K et, comme le signe de la fonction peut seul changer, le résultat se déduit immédiatement des formules relatives à l'addition de 2K.

Supposons maintenant qu'on ajoute 2/w/K', on pourrait encore ajouter successivement m fois 2fK'; mais on peut obtenir de suite le résultat en remarquant que chacune des fonctions 0| et H| est égale (n® 74) à une fonction admettant la période 2fK' multipliée par l'exponentielle

e D'après cela

e *<iK'

miTZ , .„,,

(«-4-mi k')

Hi(w-f-2mtK') = e ^ Hi(m),

û / '^f\ r— (M + miK')

6i(mh- 2miK ) = e ^ ^\{u)\

en remplaçant dans ces formules u par u — K, on trouve

H(M + 2mtK') = (-i)"»e « *""^'"''' ' H(m), e(a-i-2miK') = (-i)'«e k '"-^'"' ^ e(w).

Enfin, on démontrerait de même

Hi[M-+-(2//l-hl)lK'] = e ♦K ' ^ Bi(w),

e,[M-+-(2//n-i)iK'] = e *»^ Hi(w),

H[M-h(2m-hi)iK'] =(— i)'»te 4K ^ ^ e(a).

e[w-4-(2//H-i)iK'] = (— O'^te *K H(a).

78. Développements de Hi, e, 61 en produits infinis simples* — Ces développements se déduisent du développement de H (m)

obtenu plus haut par l'intégration de la série de co tangentes qui donne Z(ii). Nous avons trouvé (n** 72)

" = •/ iizn \/ iTZu \

Cherchons d'abord le développement de la fonction

iizn

e(fO= ^Vge »>i H(a-f-iK').

iTZll

Quand on ajoute «K' à Targument w, l'exponentielle e *^ se reproduit multipliée par g; le facteur

. Tzu e^^ — e ^^

Sin — r7 =

devient

/ lit II i%n\

ll\/q

et l'on obtient

Si l'on fait entrer dans le produit le premier facteur, on voit

ITZii ilZu

que les facteurs contenant e ^ sont de la forme 1 — q-"'^*e

iTZll

où n varie de o à oc, et les facteurs contenant e *^ de la forme

iTZn

i — q-"'^* e ^ , ou n varie également de o à 00. On a donc, en

posant pour abréger —^— = A.

= A( I — 2q cos -^^ — h ^2 j/ I 2^3 cos '-j~ ■+■ q^j , . .,

Les développements en produit de H, et de 0» s'obtiennent immédiatement en changeant w en w + K dans les développements ci-dessus de H et de 6.

Le fadeur A n'esl pas arbitraire puisque, dans les développements en séries trigonoraé triques des fonctions H, H», 0, Bj, les coefficients sont complètement déterminés. Ainsi, en identifiant les développements de 0| en produit et en série, on doit avoir, quelque soit x^

K{\-\-7.q C0S1X -^^ q^){i ->r iq^ cos2a? -t- ^*). . . = 14-2^ CCS 207 -\-iq^ cos4a7 4-2^^ cos6a7-4-. . ..

On aurait une première expression de A en faisant ^ = o dans celte identité. Jacobi a montré que l'expression ainsi obtenue peut être remplacée par la suivante :

Nous admettrons ici ce résultat. On verra, dans une Note placée à la fin du Volume, comment on peut transformer le produit infini pour obtenir la série trigonométrique et comment se présente, dans ce calcul, l'expression de A donnée par Jacobi.

Nous réunissons ici les développements en produits simplement infinis des quatre fonctions. En posant

H ( j = kisj q sina(i — 25^2 cos2w -f- ^*)(i — 2 5^*0082 a ->e- q^). . .,

11 1 ( I = Kiy q cosa(i 4-2^- cos2W -^ q^){\ -f- 25^* cos2 w 4- ^*j

H ( I = A(ï — iq C0S2a -\- q'^)\v — 25^80052^ -\-q^),...

H] ( j = A(i4- 2^ C0S2W ■+- q'^){\'\- iq^ C0S2 w 4- ^^)

79. Relation • — H'(o) = Hi(o) 6(0)61(0). — Cette relation, sur

laquelle nous aurons à nous appuyer, se vérifie très simplement à l'aide des développements en produits infinis qui précèdent, en suivant une méthode donnée par M. Hermite (voir Note sur les fonctions elliptiques^ à la fin de l'Analyse de Serretj p. 791 et 798).

On a immédiatement

Hi(o) = 2v/^AP2, 6(o) = AQ^ 61(0) = ARS

en posant pour abréger

Q = ('-^) (i-<7')(i-<7»)..., D'après la relation suivante due à Euler

on voit que 1 on a

ou bien

PQR = i.

D après cela

Calculons maintenant H'(o) en regardant H( ^^ — -j comme un produit de deux facteurs dont l'un serait sin ii, nous trouverons

On a donc bien l'égalité qu'il s'agissait de démontrer

— H'(o) = Hi(o)e(o)ei(o).

Remarque, — Les expressions précédentes de H|(o), 0i(o),

0(o) montrent que s/k et \Jk' ^ définies plus loin (n° 83), sont des

F' fonctions uniformes de la variable t= ^> et la relation PQR= i

permet de montrer que ce sont des fonctions de q régulières pour toutes les valeurs de q dont le module est moindre que i .

80. Formules relatives à l'échange de K et K'. — Dans la notalion de Weierstrass nous avons vu que les fonctions d{iu\iiij o)'), p{iu\{ù, (1)') peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions

iù' . \ / 0)' . \

Comme actuellement nous posons

on a

—r = K', tu) = i'K:

on passe donc des premières fonctions aux deuxièmes en permutant K et K'. Nous allons établir des formules du même genre pour les fonctions de Jacobi.

Convenons de désigner par H (w[K, «K') la fonction H construite comme plus haut avec les deux périodes aK et ii¥J, Cette fonction s'exprime d'une manière simple à l'aide de la fonction H construite avec les périodes aK' et ajR, H(w|R', «K). Comme

on a supposé la partie réelle de |^ positive, il en est de même de

la partie réelle de ^,; la quantité

a donc un module plus petit que l'unité, et la fonction

H(w|K', îK)est

H(m|K', iK) = 2y/ûrosin-^=T7 — 2v^sin-r=T7- -h

2lv 2lv

Cette dernière fonction vériGe les deux relations

H(a-h 2K'|K', iK)=-H(M|K',tK),

obtenues en échangeant K et K' dans les formules relatives à l'addition d'une période, vérifiées par la fonction H(w) ou H(w|K,fK').

Ceci posé, dans le produit

e^^^'n{u\K,iK'),

analogue à ceux que nous avons considérés déjà à propos de H, et de 0| remplaçons u par «m; soit /(m) la fonction ainsi obtenue

f{u) = e ^^'H{iu\K,iK').

On vérifie aisément les deux égalités suivantes, conséquences des relations fondamentales de la fonction H,

l /(a-f- 2iK) = — e ^ /('/)•

Ces relations sont identiques à celles que vérifie H(w|K', /K). En outre, les deux fonctions /(w) et H(wlK', / K) ont les mêmes zéros, savoir les valeurs de u données par la formule

m = 2 m K ■+- 2 nt K',

ou bien

M = — 2 miK ■+- 2 n K',

m et n désignant des nombres entiers.

D'après cela, le rapport

rM I

est une fonction doublement périodique aux périodes 2K et laiR et, d'autre part, cette fonction est partout finie : elle se réduit donc à une constante. Désignons cette constante par Af. Nous avons l'identité

e ^Ki^ H(m|K, iK') = A/H(w|K', iK); on en déduit les suivantes :

ttm'

e *KK' e(m|K, iKO = AHi(a|K', tK),

TCwS

e *KK'e,(m|K, iK') = A e,(w|K', iK), e~*»i»i'H,(mlK, tK')- A e(a|K', /K).

Il suffit pour cela de remplacer dans la première de ces identités u par u -h K', dans la deuxième w par u -h «K, dans la troisième u par u H- R', en se reportant aux formules du ft® 76 et à celles qu'on en déduit par l'échange de K et R'.

81. Diverses notations usitées pour les fonctions de Jacobi. — M. Weierstrass emploie les notations suivantes reproduites dans

ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. ia5

le Traité des fonctions elliptiques de Halphen

2r, ((;) = lyq siniTP — i^q^ sin37cp-h2/^*» sinôni^ — . . .,

^i{v) = 'k^q cosTZV-hOL^q^ cosSiri^H- 2 v/^'** cosjirp -4-. . ., 2rj(p) = I -^ 2^ cos it: V -\- iq^ cos ^Tzv -{- iq^ cosSirp-f-, . , 2ro(pj = I — -iq cosir.v -h7,q^ cos^tzv — iq^ cosôttp — . . ., OU

On a seulement conservé ici la lettre q au lieu de la lettre h qu'emploie M. Weierstrass pour désigner e'^^'f.

La correspondance entre les deux notations est donnée par

Jacobi, dans ses Leçons {Jacobins gesammelte Werke, t. 1, p. 497)5 lï^el ^(i{u,q) où Ton mettrait, avec la notation de

M. Weierstrass, 2ra(- j et supprime l'indice o. Briot et Bouquet

désignent les périodes 2K et 2fK' par (o et (o'; ils emploient d'autres notations reliées à celles de Jacobi et à celles de Weierstrass par les formules