Relations entre les cr et les ^. — Ces relations sont
^^^ H'(o)* o'(ti)) Hi(o)
ou
bien
La première de ces relations a été démontrée (n® 21). Les autres s'en déduisent en tenant compte des formules relatives à l'addition d'une demi-période, et en remarquant que rfi, ^2, ^3 deviennent égales à i pour w == o.
n. — Fonctions snw, en a, dnw.
83. Définitions. — Si l'on compare les multiplicateurs des fonctions H(w) et6(w) qui correspondent à la période 2K, puis à la période 2iK', on voit que les premiers sont égaux et de signe contraire, les derniers égaux et de même signe; il en résulte que
le quotient — — ^ admet pour les mêmes périodes les multiplicateurs — I et H- I.
Jacobi a été conduit à considérer les quotients des fonctions H, H|, Si par la fonction 0. Posons
ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBl. liy
(On lit les premiers membres 5, /i, u puis c, n, u puis enfin d, 71, w en énonçant successivement les trois lettres.) Déterminons les facteurs constants A, B, C, de manière que les trois fonctions prennent la valeur i la première pour u^ R, les deux autres pour w = o; nous aurons les égalités suivantes de définition
I niu)
Sn M = —r -xy-^ >
La fonction snw est seule impaire, les deux autres sont paires sn( — u) = — snw, cn( — a) = cna, dn( — u) = dnu.
Cela résulte de ce que H (m) seule est impaire, n° 74.
84. Addition d'une période ou d'une demi-période* — Les formules relatives aux fonctions H, Hj , 0, 6, donnent immédiatement
sn(M-f-2K)= — snw, sn(a-h2iK')= snw, cn(M-f-2K)= — cna, cn{u -h liK') = — cna,
dn(w-t-2K)= dnuy dn(a •+• at'K') = — dnw,
puis
cnu
sn(a -t- K) = -.; — » sn(w -h i'K') = 7
anu ^ ksnu
— k'snu , .,,,, dn
cn(w4-K) = — , cn(wH-iK')= .,
an a ik^nu
dn(a-4-K)=-T , dn(w -H iK') = -^ ,
dnt^ ^ isna
sn(w4- K4- i'K') = -j ,
' A' en M
en ( M 4- K -h i K' ) = -77 »
iK en w
dn(M-h K4- tK ) =
cnw
85. Construction, à l'aide des fonctions sn, en, dn des fonctions elliptiques aux périodes 210 et 2 w' ou 2K et 2tK'. — Les fonctions snw, cnw, dn M n'admettent pas les deux périodes 2K et 2VK'; par
l'iS CHAPITRE IV.
exemple snu change de signe quand u augmente de 2K. Mais il
est aisé de construire avec ces fonctions des fonctions elliptiques
admettant ces deux périodes : telles sont, par exemple, les deux
fonctions
sn^Uy snu cnudnUf
et, en général, toute fonction rationnelle de ces deux fonctions.
Inversement, nous verrons plus loin que toute fonction elliptique aux périodes 2K et 2iK! peut s'exprimer rationnellement à l'aide de ces deux fonctions.
Avec les fonctions de Jacobi on peut donc, tout comme avec les fonctions p et p', construire toutes les fonctions elliptiques aux périodes 2R et a/K'.
86. Périodicité; zéros; pôles des fonctions sn, en, dn. — Les périodes des trois fonctions se déduisent immédiatement des relations (i)
sn u admet les deux périodes 4 K et 2 1 K',
en M » 4K et 2K-h i/K',
dnu » i) iK et i^iK'.
Les zéros de ces fonctions sont respectivement ceux de H(w),
lli ( u)^ 61 (u) à savoir
Zéros de sn /^ iniK -^'i /^i K',
» cnu {'1 ni -h i ) K -\- iniK' ,
M (liw^ ('2;n -h i)K -h (2/i -r- i)/K' :
ce sont tous des zéros simples.
Les pôles des trois fonctions sont les mêmes : ce sont les zéros du dénominateur commun 0(w).
Pôles de sn u, en u cl dnu. . . 7.mK-{-(7.n-h i)/K'.
Ces pôles sont simples.
Si l'on construit le réseau des parallélogrammes ayant [)our sommets les points
Uo -h '1 7)1 K -h 2, nlK\
chacune des trois fonctions a un pôle et un zéro dans chaque [)arailélo gramme.
87. Formule d'addition préliminaire. — Nous obtiendrons immédiatement les formules que nous avons en vue, en appliquant les théorèmes généraux, sur les fonctions elliptiques, précédemment établis.
Considérons les deux fonctions
(5) sne£sn({£ — a), cnucn(u — a) — cna,
où a désigne une constante. Ces deux fonctions sont doublement périodiques aux périodes 2K et 2jK'. Elles sont chacune du second ordre, car elles admettent dans un parallélogramme des périodes deux pôles simples, à savoir les zéros du produit
dont chaque facteur a un seul zéro dans un parallélogramme. Les
fonctions (5) ont donc dans un parallélogramme des périodes
deux zéros : ces deux zéros s'aperçoivent immédiatement; ce sont
les points homologues de 11 = 0, et u = (x.. En efiFet, chacune des
deux fonctions s'annule pour ces valeurs de u.
Les deux fonctions doublement périodiques (5) ayant mêmes
zéros et mêmes infinis ne difiFérent que par un facteur constant;
on a donc
cnucn(u — a) — cna = AsnMsn(M — a),
A désignant un facteur constant. Ce facteur se détermine en faisant w = K; il vient alors
— cna = A-ï — > A= — an a.
an a
En remplaçant A par cette valeur dans l'identité précédente, on obtient la formule suivante d'où nous déduirons toutes les autres formules d'addition
(6) cna = en M en (a — a) -+- sna sn(a — a) dna.
88. Relations entre les fonctions snu, cnu, dnu. — En faisant, dans la formule ci-dessus (6), a = o, on trouve
sn^u ■+• cn^u = i.
Dans cette formule remplaçons u par u -h iK!, En tenant compte
Â' ET L. <i
l3o CHAPITRE IV.
des égalités
sn(w-M'K') = -5 , cn(MH- iK') =— — ,
il vient
ou enfin
dn*M =1,
dn* u •+• A* sin* w = i .
Ainsi deux des trois fonctions sn^w, cn^w, dn^w peuvent s'exprimer linéairement en fonction de la troisième. On a, par
exemple,
en* M = I — sn*a,
dn* a = I — k^ sn* a.
