Module. Module complémentaire. — Dans la relation

dn*a-h A* sn*M = i, faisons i/ = K; on a d'abord snK = i, puis la relation

dn(w4-K) = j — ' dnw

donne dnK = A^ et Ton est conduit à cette conséquence

le nombre A* s'appelle le modulej le nombre k' module complémentaire.

90. Formules d'addition pour sn u et en u, — Dans la formule (6) posons a= — v puis, dans le résultat ainsi obtenu, échangeons v et u ; nous trouvons

i cïiu cïïiu -\- v) -\- snu ànv %n(u -{- v) = cnv.

( eni' en(w H- ç')-4- snp dna sn(if-h t») = enw.

Ces deux égalités vont nous donner sn{u-\-v) et en (a 4- v) exprimés à l'aide de fonctions dont l'argument est u ou r. En les résolvant par rapport à sn(«^ + v)^ il vient

(8) sn(if-i-p) =

snt' enw dnw — sna ent^ dnp

ETUDE SPECIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l3l

On a ainsi une formule d'addition algébrique pour la fonction sn u. On récrit ordinairement sous une autre forme. Dans le second membre le numérateur s'obtient de suite en fonction de snw et de snç' en remplaçant cn^u et cn^ç; par i — sn^w et i — sn^v\ le dénominateur est une fonction irrationnelle de ces mêmes quantités. Si nous multiplions les deux termes par la quantité conjuguée du dénominateur, nous trouvons

(sn*p — sn'w) jsnpcnw dnw -t- snacnpdnpj sn(M-hi')= — i— z : — j— 7 ■•

Le dénominateur est une fonction entière de sn^w et srî^v qui s'annule pour u=.v] il doit donc contenir en facteur sn^ u — %n^v. On a en efiFet

alors le facteur sn^ v — sn^ u disparaît et il reste

sn M en p dn p -4- sn p en M dn u

(9) sn(a-i-t^) =

I — k^ sn^M sn*p

On obtient de même cn{u + (^), en éliminant sn{u-\' v) entre les deux équations (7). Effectuons le calcul : nous trouvons successivement

, . snpenpdna — snacnuànv

cn(w-t-p)= T T — ;

snt^enudne^ — snucnv dnv

j sni^cnpdna — snacnadnp j j snv^enw dna-hsn wcnt^ dnpj ^ sn^i? cn^a dn'a — sn^w en^i' dn'p

Dans le second membre le numérateur développé est

jsn*p dn*w — sn^adn^t^jen w enp — snusnp dn wdnç>(en2 w — en*p),

(sn^i' — sn*a) jenw enp — sni^ snp dne^ dnp ! ;

le dénominateur, on l'a vu, peut s'écrire

(sn^p — sn2 w)(i — k^ sn' u sn'p).

On a donc enfin

en M en p — sni^ sni^ dne^dnp

(10) CÏ\{U-^-V)— TT

^ ^ ^ I — A:* sn2 a sn* p

l3'2 CHAPITRE IV.

Formules d^ addition pour dnw. — La formule (6)

cna = cnucM{u — a)-h snMsn(w — a) dna

devient, en posant a = w -h (^,

cn(M -f- p)= cnw cnç' — snw snpdn(w -+- i').

Cette relation donne dn(w -\- v) en fonction de cn(w + (^) : en y remplaçant cn(w H- (^) par l'expression (lo) que nous venons de trouver, elle donne, après des réductions évidentes,

. ^ , , . dnwdnp — A* sn w snpcnwcnp <ii) dn(a-f-p)= 7- — •

On a ainsi les formules d'addition pour les trois fonctions sn, en, dn.

Autres formules. — Changeant dans ces formules v en — v^ ouen déduit les expressions desn(w — v), cn(w — v)^ dn(i/ — r). On a, par exemple,

snacnpdnp — snpcnwdnw

sniu — V) = r-; — :

d'où, en retrancliant de sn(w H- v)^

, ^ , . , ^ asnpcnadnw <i2) sn(a-h(^) — sn(a — p)= 7- -— ,

formule qui va nous servir à trouver la dérivée de sn u.

91. Dérivées des fonctions snw, cnw, dnw. Multiplicateur. — Pour avoir la dérivée de snw, il faut chercher la limite de

%X\ili-^K) SÎIM 7 T^ 1 * r 1

— ^^ y- pour /i = o. Four cela transiormons le numérateur comme on le fait dans la recherche de la dérivée du sinus, en nous servant de la formule (12). Dans cette formule remplaçons u par w -i- - et ^ par -? cela donne

j . sn - en w H an w H

si\{u -\- h) — snw 2 \ 2/ \ 2

- 1 — A-2 sn2

ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l33

Appelons g la limite du rapport quand u tencl vers zéro :

h sn —

alors — T— tend vers g^ et on trouve, pour /« = o,

dsnu ,

— ; — = fi' en w an M.

Le nombre g se nomme multiplicateur,

92. Expression du multiplicateur en fonction des périodes. Choix de périodes 2K et 2iK' telles que le multiplicateur soit égal à

l'unité. — Nous avons à chercher la limite de quand u tend

vers zéro. D'après la définition de sn w, on a

H(jO

snu __^ 61(0) u

~w~ "" Ht(o) e(M) '

et nous sommes ramenés à chercher la limite de — - — -; cette limite

peut se déterminer à l'aide du produit simplement infini qui représente H (m); elle est égale à H'(o) et nous avons démontré (n° 79) la relation

^H'(o)=Hi(o)e(o)ei(o).

L'expression de g^ savoir

Hiio) 6(0)

se simplifie, si Ton remplace H'(o) par sa valeur tirée de la relation que nous venons de rappeler : g est alors donné par l'égalité

^ = eî(o).

Jusqu'ici les périodes 2K et 2fK' ont été prises arbitrairement et avec le même degré de généralité que 2(o et ato'. Dans ce qui suit, à moins de spécifier le contraire, nous supposerons R et R' choisis de façon que g soit égal à i, c'est-à-dire nous sup-

l34 CHAPITRE IV.

poserons remplie la condition

En tenant compte de cette condition, g^i, Téquation qui donne la dérivée de snw devient

-7- sn {£ = en u an a.

Ainsi, à l'avenir, K et R' ne seront plus des quantités indépendantes : elles seront assujetties à vérifier la condition ci-dessus.

93. Dérivées successives. — En difTérentiant les expressions de cn^M, dn^u, savoir

en* M = I — sn*w, dn* w = 1 — A:* sn*a,

on trouvera les dérivées de cn«/, dnu.

Les dérivées des trois fonctions sont données par les formules

-;— (snM)= en M dnw,

-r- (cTiu)= — ?,Tiuànu, du '

--7-(dna) = — Â:*sna en m.

On peut aisément, en partant de ces formules, calculer les dérivées successives de l'une des trois fonctions. On trouvera par exemple, pour les dérivées de snw, des expressions de la forme

(snw) = (ao H- ai sn^w -+- a^ sn*M h-. ..-f- «p sn^/^a) cna dnw,

du'^P^'^ d'^P

(snw) = (AoH- Aisn^a -h Ajsn^w -H. . .-f- Apsn2/'M)snM,

du^P les coefficients étant des fonctions entières de k.

94. Développements en séries entières. — En appliquant la formule de Maclaurin aux trois fonctions sn w, en w, dn u et en faisant

ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l35

a = i ^A: +. i b on trouve

en M = 1— — -+-(n-4A:2) — îi-.(n-44X:2+i6A:*) — - — - +..., 1.2 ^1.2.3.4 ^ ^1.2. ..6

dnz^= i:^4-A'2(4h-^2) — ?^^ï(ï6-+-44^«-+-A:*)— ^^-i-..., 1.2 1.2.3.4 1.2. . .6

et l'on démontre que ces développements sont valables quand le module de u est moindre que la distance de l'origine à celui des zéros de 6(w) qui en est le plus rapproché. On voit qu'en négligeant M*, en M peut être remplacé par cosm et inu par cosXtm; de plus, en négligeant u^^ on peut remplacer snw par

smu\/ \-\- k^

95. Dérivées des fonctions inverses. Première idée de l'inversion à l'aide des fonctions de Jacobi. — De même qu'en Trigonométrie les dérivées de sinw et cosm conduisent à celles des fonctions inverses arcsin^ et arccoso:, les résultats précédents nous fournissent les dérivées des fonctions inverses de snu, en m, dnw.

Soit par exemple

(i3) a; = sn w;

cette équation résolue par rapport à u donne, pour m, deux valeurs dans un parallélogramme construit avec les périodes 4^^ et 2«R', car snu est une fonction elliptique admettant ces deux périodes et admettant deux pôles simples dans ce parallélogramme. L'une de ces valeurs étant appelée u, l'autre est 2R — m ; car

sn(2K — m)= snw.

Les racines de l'équation (i3) forment donc une double suite de valeurs

m et n désignant des entiers.

Nous appellerons plus spécialement u celle de ces valeurs qui,

l36 CHAPITRE IV.

suivie par continuité, s'annule avec x et nous l'appellerons (i4) w = argsna7

(l'égalité précédente s'énonce : u égale argument sn:r).

du dx

Nous voulons calculer -r-* Or (i3) donne

-T-^ = en w (In a = /(i — a7*)(i — Xr'a?*).

Donc

Telle est la dérivée de arg sn^; elle est algébrique comme celle de arcsin^. Gomme m et ^ s'annulent en même temps, Téqualion (i5) donne par l'intégration

JC^ dx

Inversement, si l'on est en présence d'une équation de cette forme, on en conclura

M = argsnir, ir = snM.

C'est ce qu'on appelle faire l'inversion de l'intégrale (ï6). On trouve de même

c? arg en a? i

<iargdniF i

±:v/(i — ^^)(ip2 X:'2)

L'intégrale (i6) est appelée une intégrale elliptique de première espèce, sous la forme normale de Legendre,

96. Dégénérescence. — Les fonctions sn, en, dn se réduisent à des fonctions circulaires ou exponentielles lorsque k'^ est égal à o ou à I .

jo /^2- Q^ L'équalion (i6) devient alors

Je dx f -== ^v — x''

ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JAGOBI. l37

la fonction x = snu devient donc x = s\nu. Les fonctions

en M = /i — sn^u, dnu = /i — k^sn^u

deviennent

en M = ces M, dn M = I .

On peut vérifier qu'alors les formules d'addition (9) et (lo) se réduisent aux formules donnant sin(w -i- ^), cos(«^ + p). 2° k^= i. A.lors on a d'après (16)

d'où

puis

Je dx ï \-\- X T = - Loff . I — a?» 2 °i — ar

a?= snw =

gW | g-U '

a = dn M = J \ — sn^M = —

97. Relation entre pw et sna. — La fonction snw que nous voulons comparer à pw est celle dont le multiplicateur est égal à V unité, de sorte que, si l'on pose

.3 = sn M,

satisfait à l'équation différentielle

Alors les périodes 2R et liYsI de la fonction sn*w ne sont pas arbitraires. Elles doivent satisfaire à la condition

*-Uoi^9

Au contraire les périodes 2(o et 2(o' depw sont prises arbitrairement. { On suppose seulement que dans le rapport -7- la partie réelle

est positive.)

Considérons la fonction sn'y où \ est une constante; cette fonction admet comme périodes 2RX et iiYJ\, On peut déter-

l38 CHAPITRE IV.

miner X, K, K' de façon que les périodes de sn^ r- aient des valeurs données à l'avance 2(o et ao)'. Si l'on prend

K "" itii

la quantité gr est connue et la relation entre Ket K' déterminera K. Au moyen de l'indéterminée X on pourra satisfaire à la condition

3» K X = 2 Cl)

et, en se reportant à la valeur de -jt-* on trouvera

aïK'X = 20)'.

Prenons alors la fonction pu construite avec les deux périodes 2 (0 et 2 0)', et comparons-la à > qui admet les mêmes périodes .

Dans un parallélogramme de périodes contenant le point o, ces deux fonctions ont un seul pôle, le point w := o, qui est un pôle double. On a, de plus, quand u tend vers zéro,

Vimu^pu = i, lim = i.

Les deux fonctions ont donc même partie principale dans le voisinage de ii=:o et la différence

pu —